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北师大版2023年中考数学一轮复习
《勾股定理》单元练习
一 、选择题
1.下列各组数中,能构成直角三角形的是( )
A.4,5,6 B.1,1, C.6,8,11 D.5,12,23
2.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的为( )
A.∠A=∠B﹣∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
C.b2=a2﹣c2 D.a∶b∶c=2∶3∶4
3.根据图形(图1,图2)的面积关系,下列说法正确的是( )
A.图1能说明勾股定理,图2能说明完全平方公式
B.图1能说明平方差公式,图2能说明勾股定理
C.图1能说明完全平方公式,图2能说明平方差公式
D.图1能说明完全平方公式,图2能说明勾股定理
4.如图,CB=1,且OA=OB,BC⊥OC,则点A在数轴上表示的实数是( )
A. B.﹣ C. D.﹣
5.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
6.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为( )
A.米 B.米 C.(+1)米 D.3米
7.如图,张明家(记作A)在成都东站(记作B)南偏西30°的方向且相距4000米,王强家(记作C)在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米,则张明家与王强家的距离为( )
A.6000米 B.5000米 C.4000米 D.2000米
8.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2等于( )
A.75 B.100 C.120 D.125
9.如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG为等腰直角三角形,则EF的长为( )
A.10 B.10 C.12 D.12
10.三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
11.如图,在5×5的正方形网格中,以AB为边画直角△ABC,使点C在格点上,满足这样条件的点C的个数( )
A.6 B.7 C.8 D.9
12.如图,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为( )
A.4 dm B.2 dm C.2 dm D.4 dm
二 、填空题
13.若三角形三边之比为3:4:5,周长为24,则三角形面积 .
14.点Q(5,﹣12)到原点的距离是 .
15.如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 米.
16.甲、乙两艘客轮分别用20m/min和15m/min速度同时离开港口,甲、乙客轮分别都用40min到达A、B两点,若A,B两点的直线距离为,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是___________.(只填序号)
①北偏西60° ②南偏西30° ③南偏东60° ④南偏西60°
17.如图,一架长2米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.当A点下滑到A′点,B点向右滑行到B′点时,梯子AB的中点P也随之运动到P′点.若∠POP′=15°,则AA′的长 .
18.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为3m,4m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长长为3m的直角边,则扩充后等腰三角形绿地的面积为 m2.
三 、解答题
19.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,a,b,c
根据你发现的规律,请写出
(1)当a=19时,求b、c的值;
(2)当a=2n+1时,求b、c的值;
(3)用(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数,并说明理由.
20.如图,已知在△ABC中,AB=AC=13,D是AB上一点,且CD=12,BD=8.
(1)求△ADC的面积.
(2)求BC的长.
21.如图,在△ABC中,CD是AB边上高,若AD=16,CD=12,BD=9.
(1)求△ABC的周长.
(2)判断△ABC的形状并加以证明.
22.如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了500m到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.
(1)求A、C两点之间的距离;
(2)确定目的地C在营地A的什么方向?
23.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°.请完成以下任务.
(1)尺规作图:①作∠A的平分线,交CB于点D;
②过点D作AB的垂线,垂足为点E.请保留作图痕迹,不写作法,并标明字母.
(2)若AC=3,BC=4,求CD的长.
24.如图,在△ABC中,D是BC上一点,且满足AC=AD,请你说明AB2=AC2+BC·BD.
25.如图,长方体的底面是边长为1cm 的正方形,高为3cm.
(1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,请计算所用细线最短需要 cm?
(2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm.
答案
B.
D.
B
D
B
C
B.
B.
B
C.
C.
A.
答案为:24.
答案为:13.
答案为:10.
答案为:①③
答案为:﹣.
答案为:8m2或10m2;
解:(1)观察得给出的勾股数中,斜边与较大直角边的差是1,即c﹣b=1
∵a=19,a2+b2=c2,
∴192+b2=(b+1)2,
∴b=180,
∴c=181;
(2)通过观察知c﹣b=1,
∵(2n+1)2+b2=c2,
∴c2﹣b2=(2n+1)2,
(b+c)(c﹣b)=(2n+1)2,
∴b+c=(2n+1)2,
又c=b+1,
∴2b+1=(2n+1)2,
∴b=2n2+2n,c=2n2+2n+1;
解:(1)∵AB=13,BD=8,
∴AD=AB﹣BD=5,
∴AC=13,CD=12,
∴AD2+CD2=AC2,
∴∠ADC=90°,即△ADC是直角三角形,
∴△ADC的面积=×AD×CD=×5×12=30;
(2)在Rt△BDC中,∠BDC=180°﹣90°=90°,
由勾股定理得:BC=4,即BC的长是4.
解:(1)∵CD是AB边上高,
∴∠CDA=∠CDB=90°,
∴AC==20,BC==15,
∵AB=AD+BD=25,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60;
(2)△ABC是直角三角形,理由如下:202+152=252,
即AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
解:(1)过B点作BE∥AD,
如图,∴∠DAB=∠ABE=60°.
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°,
∴∠CBA=90°.
即△ABC为直角三角形.
由已知可得:BC=500 m,AB=500 m,
由勾股定理可得:AC2=BC2+AB2,
所以AC=1 000(m);
(2)在Rt△ABC中,∵BC=500 m,AC=1 000 m,
∴∠CAB=30°,
∵∠DAB=60°,
∴∠DAC=30°.
即点C在点A的北偏东30°的方向.
解:(1)如图所示:①AD是∠A的平分线;
②DE是AB的垂线;
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AB=5,
由作图过程可知:DE=DC,∠AED=∠C=90°,
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC,
∴AC•CD+AB•DE=AC•BC,
∴×3×CD+×5×CD=×3×4,解得:CD=.
证明:作AE⊥BC于E,如图所示:
则∠AEB=∠AEC=90°,
由勾股定理得:AB2=AE2+BE2,AE2=AD2﹣DE2,
∵AC=AD,AE⊥DC,
∴DE=CE,
∴AB2=AC2+BE2﹣DE2=AC2+(BE+DE)(BE﹣DE)=AC2+BC•BD.
解:如图所示,
∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,
∴展开后AC=1cm×8=8cm,BC=3cm,
由勾股定理得:AB=.
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