北师大版2023年中考数学一轮复习《勾股定理》单元练习（含答案）

北师大版2023年中考数学一轮复习 《勾股定理》单元练习 一 、选择题 1.下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　) A.4，5，6  B.1，1，    C.6，8，11     D.5，12，23 2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为(　　) A.∠A＝∠B﹣∠C  B.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2 C.b2＝a2﹣c2 D.a∶b∶c＝2∶3∶4 3.根据图形(图1，图2)的面积关系，下列说法正确的是(    ) A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 4.如图，CB＝1，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是( ) A. B.﹣ C. D.﹣ 5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 6.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( ) A.米 B.米 C.(＋1)米 D.3米 7.如图，张明家(记作A)在成都东站(记作B)南偏西30°的方向且相距4000米，王强家(记作C)在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为(　　) A.6000米     B.5000米     C.4000米    D.2000米 8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2等于( ) A.75 B.100 C.120 D.125 9.如图，在长方形ABCD中，AB＝12，AD＝14，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，若CF＝4，且△EFG为等腰直角三角形，则EF的长为( ) A.10 B.10 C.12 D.12 10.三角形的三边长为a，b，c，且满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是(　　) A.等边三角形  B.钝角三角形  C.直角三角形  D.锐角三角形 11.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数(　　) A.6    B.7     C.8    D.9 12.如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( ) A.4 dm B.2 dm C.2 dm D.4 dm 二 、填空题 13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积 ． 14.点Q(5，﹣12)到原点的距离是 ． 15.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　   　米． 16.甲、乙两艘客轮分别用20m/min和15m/min速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用40min到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________.(只填序号) ①北偏西60°   ②南偏西30°  ③南偏东60°   ④南偏西60° 17.如图，一架长2米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°.当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点．若∠POP′＝15°，则AA′的长 ． 18.一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为　 　m2． 三 、解答题 19.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出 (1)当a＝19时，求b、c的值； (2)当a＝2n＋1时，求b、c的值； (3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由. 20.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8． (1)求△ADC的面积． (2)求BC的长． 21.如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9． (1)求△ABC的周长． (2)判断△ABC的形状并加以证明． 22.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点. (1)求A、C两点之间的距离； (2)确定目的地C在营地A的什么方向？ 23.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°.请完成以下任务. (1)尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D； ②过点D作AB的垂线，垂足为点E.请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母. (2)若AC＝3，BC＝4，求CD的长. 24.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC＝AD，请你说明AB2＝AC2＋BC·BD. 25.如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm． (1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要 cm? (2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm． 答案 B. D. B D B C B. B. B C. C. A. 答案为：24. 答案为：13． 答案为：10． 答案为：①③ 答案为：﹣． 答案为：8m2或10m2； 解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2， ∴192＋b2＝(b＋1)2， ∴b＝180， ∴c＝181； (2)通过观察知c﹣b＝1， ∵(2n＋1)2＋b2＝c2， ∴c2﹣b2＝(2n＋1)2， (b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2， ∴b＋c＝(2n＋1)2， 又c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2， ∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1； 解：(1)∵AB＝13，BD＝8， ∴AD＝AB﹣BD＝5， ∴AC＝13，CD＝12， ∴AD2＋CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形， ∴△ADC的面积＝×AD×CD＝×5×12＝30； (2)在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°， 由勾股定理得：BC＝4，即BC的长是4． 解：(1)∵CD是AB边上高， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴AC＝＝20，BC＝＝15， ∵AB＝AD＋BD＝25， ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝25＋20＋15＝60； (2)△ABC是直角三角形，理由如下：202＋152＝252， 即AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 解：(1)过B点作BE∥AD， 如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°. ∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°， ∴∠CBA＝90°. 即△ABC为直角三角形. 由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 m， 由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2， 所以AC＝1 000(m)； (2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m， ∴∠CAB＝30°， ∵∠DAB＝60°， ∴∠DAC＝30°. 即点C在点A的北偏东30°的方向. 解：(1)如图所示：①AD是∠A的平分线； ②DE是AB的垂线； (2)在Rt△ABC中，由勾股定理得： AB＝5， 由作图过程可知：DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°， ∵S△ACD＋S△ABD＝S△ABC， ∴AC•CD＋AB•DE＝AC•BC， ∴×3×CD＋×5×CD＝×3×4，解得：CD＝. 证明：作AE⊥BC于E，如图所示： 则∠AEB＝∠AEC＝90°， 由勾股定理得：AB2＝AE2＋BE2，AE2＝AD2﹣DE2， ∵AC＝AD，AE⊥DC， ∴DE＝CE， ∴AB2＝AC2＋BE2﹣DE2＝AC2＋(BE＋DE)(BE﹣DE)＝AC2＋BC•BD． 解：如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后AC＝1cm×8＝8cm，BC＝3cm， 由勾股定理得：AB＝.