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江西省九江市实验中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系中,抛物线的焦点为,是抛物线上的点,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆面积为,则( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
略
2. 设复数z满足=i,则|z|=( )
A.1 B. C. D.2
参考答案:
A
【考点】复数求模.
【专题】计算题;数系的扩充和复数.
【分析】先化简复数,再求模即可.
【解答】解:∵复数z满足=i,
∴z==i,
∴|z|=1,
故选:A.
【点评】本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础.
3. 已知某四面体的六条棱长分别为3,3,2,2,2,2,则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为( )
A. 0 B. C. 0或 D. 以上都不对
参考答案:
B
【分析】
当较长的两条棱是四面体相对的棱时,根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾,得此种情况不存在;当它们是四面体相邻的棱时,根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值,由此可得正确答案.
【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时,
如图,
取CD中点E,则
∵等腰△BCD中,中线BE⊥CD,等腰△ACD中,中线AE⊥CD,
AE、BE是平面ABE内的相交直线
∴CD⊥平面ABE,结合AB?平面ABE,可得AB⊥CD
此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°=0,
检验:此时△ABE中,AE=BE,不满足AE+BE>AB,
故此种情况舍去;
②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时,如图
设所成的角为θ,根据余弦定理得cosθ
综上所述,得所求余弦值为
故选B.
【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值,着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识,属于基础题.
4. 圆与圆的位置关系为
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
参考答案:
B
5. 若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≥5
C.1≤a≤5 D.a≤5
参考答案:
D
略
6. 在平面直角坐标系中,经过点且离心率为的双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 若命题“?x0∈R,使得x02+mx0+2m﹣3<0”为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.[2,6] B.[﹣6,﹣2] C.(2,6) D.(﹣6,﹣2)
参考答案:
A
【考点】特称命题;命题的真假判断与应用.
【分析】先写出原命题的否定,再根据原命题为假,其否定一定为真,利用不等式对应的是二次函数,结合二次函数的图象与性质建立不等关系,即可求出实数m的取值范围.
【解答】解:命题“?x0∈R,使得”的否定为:
“?x0∈R,都有”,
由于命题“?x0∈R,使得”为假命题,
则其否定为:“?x0∈R,都有”,为真命题,
∴△=m2﹣4(2m﹣3)≤0,解得2≤m≤6.
则实数m的取值范围是[2,6].
故选A.
8. 如图所示,过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、,交其准线于点,若,,则此抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. cos480°的值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
参考答案:
D
考点:运用诱导公式化简求值.
专题:三角函数的求值.
分析:运用诱导公式即可化简求值.
解答: 解:cos480°=cos(360°+120°)=cos120°=﹣cos60°=﹣.
故选:D.
点评:本题主要考查了运用诱导公式化简求值,属于基础题.
10. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是
A. B.4 C.2 D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
参考答案:
考点:
由三视图求面积、体积.
专题:
计算题.
分析:
由已知中的三视图,我们可以判断出几何体的形状,进而求出几何体的底面面积和高后,代入棱锥体积公式,可得答案.
解答:
解:由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥
且棱锥的底面是一个以(2+1)=3为底,以1为高的三角形
棱锥的高为3
故棱锥的体积V=?(2+1)?1?3=
故答案为:
点评:
本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键.
12.
如图,矩形ABCD中,DC=,AD=1,在DC上截取DE=1,将△ADE沿AE翻折到D1点,点D1在平面ABC上的射影落在AC上时,二面角D1-—AE—B的平面角的余弦值是 .
参考答案:
答案:
13. 若直线经过点,且,则当
时,取得最小值.
参考答案:
由直线经过点,得,即,所以.又由,得,即.由柯西不等式,得,由此可得
.等号成立的条件为且,即,,,所以.故填.
【解题探究】本题考查柯西不等式在求解三元条件最值上的应用.先由直线过定点可得,然后再思考系数的匹配,构造柯西不等式的形式,可求出的最小值,最后由柯西不等式等号成立求出,,,可得的值.
14. 在△ABC中,,其面积为3,设点在内,且满足,则 .
参考答案:
15. 集合恰有两个子集,则的取值范围为 .
参考答案:
16. 已知复数z=(2﹣i)(1+3i),其中i是虚数单位,则复数z在复平面上对应的点位于第 象限.
参考答案:
一
考点: 复数代数形式的乘除运算.
专题: 数系的扩充和复数.
分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
解答: 解:复数z=(2﹣i)(1+3i)=5+5i,
复数z在复平面上对应的点(5,5)位于第一象限.
故答案为:一.
点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题
17. 已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点,其横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3= .
参考答案:
【考点】正弦函数的图象.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】作出函数,由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2和x2+x3的值,相加即可.
【解答】解:函数的图象,
可看作函数y=2sin2x的图象向左平移得到,相应的对称轴也向左平移,
∴x1+x2=2(﹣)=,x2+x3=2(﹣)=π,
∴x1+2x2+x3=(x1+x2)+(x2+x3)=+π=,
故答案为:.
【点评】本题考查三角函数图象的变化和性质,利用对称性是解决问题的关键,属中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1) 求的值;
(2) 若,求.
参考答案:
解:(1);
(2)因为,所以,
.
略
19. 为了了解2011年某校高三学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区间为(3.9,4.2],(4.2,4.5],… ,(5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表:
分组
频数
频率
(3.9,4.2]
3
0.06
(4.2,4.5]
6
0.12
(4.5,4.8]
25
x
(4.8,5.1]
y
z
(5.1,5.4]
2
0.04
合计
n
1.00
(I)求频率分布表中未知量n,x,y,z的值;
(II)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率.
参考答案:
解:(I)由表可知,样本容量为,由,得
由;……3分
, 6分
(II)设样本视力在(3.9,4.2]的3人为,
样本视力在(5.1,5.4]的2人为. ….….7分
由题意从5人中任取两人的基本事件空间为:
,….9分
∴,且各个基本事件是等可能发生的. ….10分
设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”,则事件A包含的基本事件有:
,∴
∴, …. …. ….11分
故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为. …. …. ….12分
略
20.
(14分)如图,直角梯形ABCD中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD=,BC=.椭圆C以A、B为焦点且经过点D.
(1)建立适当坐标系,求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点,且线段MN的中点为C,若存在,求l与直线AB的夹角,若不存在,说明理由.
参考答案:
解析:(1)如图,以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴建立直角坐标系,A(-1,0),B(1,0)
设椭圆方程为:
令 ∴
∴ 椭圆C的方程是:
(2) l⊥AB时不符合,
∴ 设l:
设M(,),N(,),
∵ ∴ ,即,
∴ l:,即 经验证:l与椭圆相交,
∴ 存在,l与AB的夹角是.
21. 设实数a,b满足2a+b=9.
(i)若|9﹣b|+|a|<3,求x的取值范围;
(ii)若a,b>0,且z=a2b,求z的最大值.
参考答案:
考点:绝对值不等式的解法.
专题:不等式的解法及应用.
分析:(i)由题意可得|9﹣b|=2|a|,不等式|9﹣b|+|a|<3可化为|a|<1,由此解得a的范围.
(ii)因为a,b>0,2a+b=9,再根据z=a2b=a?a?b,利用基本不等式求得它的最大值.
解答: 解:(i)由2a+b=9得9﹣b=2a,即|9﹣b|=2|a|.
所以|9﹣b|+|a|<3可化为3|a|<3,即|a|<1,解得﹣1<a<1.
所以a的取值范围﹣1<a<1.
(ii)因为a,b>0,2a+b=9,
所以,当且仅当a=b=3时,等号成立.
故z的最大值为27.…
点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,基本不等式的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.
22. 设等差数列的公差为2,等比数列的公比为2,且,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Sn.
参考答案:
(1)
(2)
【分析】
(1)根据题意可得,,联立解方程可得数列的通项公式;
(2)通过分组求和法可得数列的前n项和.
【详解】解:(1)因为,,所以,,
依题意可得,, ,
故;
(2)由(1)可知,,
故
.
【点睛】本题考查等差数列,等比数列的通项公式,考查分组法求和,是基础题.
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