江西省九江市实验中学高三数学理模拟试题含解析

江西省九江市实验中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则(    ) A． B． C． D． 参考答案： B 略 2. 设复数z满足=i，则|z|=(     ) A．1 B． C． D．2 参考答案： A 【考点】复数求模． 【专题】计算题；数系的扩充和复数． 【分析】先化简复数，再求模即可． 【解答】解：∵复数z满足=i， ∴z==i， ∴|z|=1， 故选：A． 【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础． 3. 已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（    ） A. 0 B. C. 0或 D. 以上都不对 参考答案： B 【分析】 当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案． 【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时， 如图， 取CD中点E，则 ∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD， AE、BE是平面ABE内的相交直线 ∴CD⊥平面ABE，结合AB?平面ABE，可得AB⊥CD 此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0， 检验：此时△ABE中，AE＝BE，不满足AE+BE＞AB， 故此种情况舍去； ②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图 设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ 综上所述，得所求余弦值为 故选B. 【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题． 4. 圆与圆的位置关系为    (A)内切　　(B)相交　　(C)外切　　(D)相离 参考答案： B 5. 若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是(　　) A．a≤1                       B．a≥5 C．1≤a≤5                   D．a≤5 参考答案： D 略 6. 在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（   ） A．                            B． C．                            D． 参考答案： B 7. 若命题“?x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　） A．[2，6] B．[﹣6，﹣2] C．（2，6） D．（﹣6，﹣2） 参考答案： A 【考点】特称命题；命题的真假判断与应用． 【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围． 【解答】解：命题“?x0∈R，使得”的否定为： “?x0∈R，都有”， 由于命题“?x0∈R，使得”为假命题， 则其否定为：“?x0∈R，都有”，为真命题， ∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6． 则实数m的取值范围是[2，6]． 故选A． 8. 如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，，则此抛物线的方程为（    ） A．      B．      C．            D． 参考答案： D 9. cos480°的值为(     ) A． B． C．﹣ D．﹣ 参考答案： D 考点：运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：运用诱导公式即可化简求值． 解答： 解：cos480°=cos（360°+120°）=cos120°=﹣cos60°=﹣． 故选：D． 点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题． 10. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 A．      B．4       C．2       D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　． 参考答案： 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题． 分析： 由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案． 解答： 解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥 且棱锥的底面是一个以（2+1）=3为底，以1为高的三角形 棱锥的高为3 故棱锥的体积V=?（2+1）?1?3= 故答案为： 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键． 12. 如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1-—AE—B的平面角的余弦值是             .   参考答案： 答案：    13. 若直线经过点，且，则当     时，取得最小值． 参考答案： 由直线经过点，得，即，所以．又由，得，即．由柯西不等式，得，由此可得 ．等号成立的条件为且，即，，，所以．故填． 【解题探究】本题考查柯西不等式在求解三元条件最值上的应用．先由直线过定点可得，然后再思考系数的匹配，构造柯西不等式的形式，可求出的最小值，最后由柯西不等式等号成立求出，，，可得的值． 14. 在△ABC中，，其面积为3，设点在内，且满足，则          ． 参考答案： 15. 集合恰有两个子集,则的取值范围为       ． 参考答案： 16. 已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第　　　　　　象限． 参考答案： 一 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 解答： 解：复数z=（2﹣i）（1+3i）=5+5i， 复数z在复平面上对应的点（5，5）位于第一象限． 故答案为：一． 点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题 17. 已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3=　　． 参考答案： 【考点】正弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2和x2+x3的值，相加即可． 【解答】解：函数的图象， 可看作函数y=2sin2x的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移， ∴x1+x2=2（﹣）=，x2+x3=2（﹣）=π， ∴x1+2x2+x3=（x1+x2）+（x2+x3）=+π=， 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数图象的变化和性质，利用对称性是解决问题的关键，属中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． (1) 求的值； (2) 若，求． 参考答案： 解：(1)； （2）因为，所以， ． 略 19. 为了了解2011年某校高三学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，… ，（5.1，5.4].经过数据处理，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率 （3.9，4.2] 3 0.06 （4.2，4.5] 6 0.12 （4.5，4.8] 25 x （4.8，5.1] y z （5.1，5.4] 2 0.04 合计 n 1.00 　 （I）求频率分布表中未知量n,x,y,z的值； （II）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率． 参考答案： 解：（I）由表可知，样本容量为，由，得 由；……3分 ，                   6分 （II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为， 样本视力在（5.1，5.4]的2人为．                   ….….7分 由题意从5人中任取两人的基本事件空间为： 　　，….9分 ∴，且各个基本事件是等可能发生的．                       ….10分             设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有： ，∴ ∴，                                       …. …. ….11分 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．  …. …. ….12分 略 20. （14分）如图，直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D． 　　（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；   　　（2）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的中点为C，若存在，求l与直线AB的夹角，若不存在，说明理由． 参考答案： 解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0） 　　设椭圆方程为： 　　令　∴ 　　∴　椭圆C的方程是： 　　（2） l⊥AB时不符合， 　　∴　设l： 　　设M（，），N（，）， 　　∵　　　∴　，即， 　　∴　l：，即　经验证：l与椭圆相交， 　　∴　存在，l与AB的夹角是． 21. 设实数a，b满足2a+b=9． （i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围； （ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值． 参考答案： 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围． （ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a?a?b，利用基本不等式求得它的最大值． 解答： 解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|． 所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1． 所以a的取值范围﹣1＜a＜1． （ii）因为a，b＞0，2a+b=9， 所以，当且仅当a=b=3时，等号成立． 故z的最大值为27．… 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 22. 设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Sn． 参考答案： （1） （2） 【分析】 （1）根据题意可得，，联立解方程可得数列的通项公式； （2）通过分组求和法可得数列的前n项和. 【详解】解：（1）因为，，所以，， 依题意可得，， ， 故； （2）由（1）可知，， 故 . 【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.