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江苏省淮安市高桥中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知x,y满足,且目标函数z=2x+y的最小值为1,则实数a的值是( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
B
【考点】简单线性规划.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数求得a的值.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
由图可知A(a,a),
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,
由图可知,当直线y=﹣2x+z过A(a,a)时直线在y轴上的截距最小,z最小,z的最小值为2a+a=3a=1,解得:a=.
故选:B.
【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
2. 已知复数z=i(1+i)(i为虚数单位),则复数z在复平面上所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】首先进行复数的乘法运算,写成复数的代数形式,写出复数对应的点的坐标,根据点的横标和纵标和零的关系,确定点的位置.
【解答】解:∵z=i(1+i)=﹣1+i,
∴z=i(1+i)=﹣1+i对应的点的坐标是(﹣1,1)
∴复数在复平面对应的点在第二象限.
故选B.
【点评】本题考查复数的代数形式的乘法运算,考查复数在复平面上对应的点的坐标,本题是一个基础题,这种题目若出现一定是一个必得分题目.
3. 则下面结论中正确的是
A. 是奇函数 B. 的值域是
C. 是偶函数 D. 的值域是
参考答案:
D
在坐标系中,做出函数的图象如图,由图象可知选D.
4. 六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛,采取单循环赛制,即参加比赛的每两个人之间仅赛一局.第一天,A、B各参加了3局比赛,C、D各参加了4局比赛,E参加了2局比赛,且A与C没有比赛过,B与D也没有比赛过.那么F在第一天参加的比赛局数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】从A、B各参加了3局比赛,C、D各参加了4局比赛,E参加了2局比赛,且A与C没有比赛过,B与D也没有比赛过这个已知条件入手,进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局,最后即可得出F最终下了几局.
【解答】解:由于A、B各参加了3局比赛,C、D各参加了4局比赛,E参加了2局比赛,且A与C没有比赛过,B与D也没有比赛过,
所以与D赛过的是A、C、E、F四人;
与C赛过的是B、D、E、F四人;
又因为E只赛了两局,A与B各赛了3局,
所以与A赛过的是D、B、F;
而与B赛过的是A、C、F;
所以F共赛了4局.
故选D.
5. 已知函数的部分图像如图所示,则的值依次为( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
B
6. 已知,,且,则( )
A.有最大值 B.有最小值
C.有最大值 D.有最小值
参考答案:
D
命题意图:本题考查不等式的基本运算,中等题.
7. 函数的值域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 已知i是虚数单位,若,则z的共轭复数对应的点在复平面的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
D
【分析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.
【详解】解:由2+i=z(1﹣i),得z,
∴,
则z的共轭复数z对应的点的坐标为(),在复平面的第四象限.
故选:D.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.
9. 已知集合,,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
先求出集合A,然后根据补集的定义求出.
【详解】解:,所以,
故答案为:C.
【点睛】本题考查集合补集的运算,属于基础题.
10. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为 .
参考答案:
4
12. 为了了解名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔为__________________.
参考答案:
_20_
略
13. 已知的内角A,B,C所对的ks5u
ks5u
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边分别为且,,则 。
参考答案:
略
14. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 元.
参考答案:
2300
略
15. 如图,有一块半径为20米,圆心角的扇形展示台,展示台分成两个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中).某次菊花展分别在这四个区域摆放:泥金香紫龙卧雪、朱砂红霜,预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:50元/米2,,30元/米2,,40元/米2,,为使预计日总效益最大,的余弦值应等于 .
参考答案:
设日总效益设为,
则
,
又由,可得,解得,
由,函数递增,,函数递减,
既有,即由时,预计日收益最大,所以的余弦值为.
16. 已知数列的前项和为,且,则= .
参考答案:
4
17. 函数f(x)=3x|x|﹣1的零点个数为 ?
参考答案:
2
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】综合题;数形结合;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】由f(x)=3x|x|﹣1=0得|x|=3﹣x,分别作出函数y=|x|与y=3﹣x的图象,利用图象判断函数的交点个数即可.
【解答】解:由f(x)=3x|x|﹣1=0,
得|x|=3﹣x,
分别作出函数y=|x|与y=3﹣x的图象,如图:
由图象可知两个函数的交点个数为2个,
即函数f(x)=3x|x|﹣1的零点个数为2.
故答案为:2.
【点评】本题主要考查函数零点的个数判断,利用数形结合是解决此类问题的基本方法.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x﹣alnx,(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)设g(x)=﹣,若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)先求导,再分类讨论,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值点的个数;
(2)由题意,只要求出函数f(x)min>0即可,利用导数和函数的最值的关系,进行分类讨论,即可得到a的范围.
【解答】解:(1)f(x)=x﹣alnx,(x>0),
f′(x)=1﹣=,
①a≤0时,f′(x)>0,f(x)递增,f(x)无极值;
②a>0时,令f′(x)>0,解得:x>a,令f′(x)<0,解得:0<x<a,
∴f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增,
f(x)有1个极小值点;
(2)若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,
令h(x)=f(x)﹣g(x),即h(x)最小值>0在[1,e]恒成立,
则h(x)=x﹣alnx+(a∈R),
∴h′(x)=1﹣﹣=,
①当1+a≤0,即a≤﹣1时,在[1,e]上为增函数,f(x)min=f(1)=1+1+a>0,
解得:a>﹣2,即﹣2<a≤﹣1,
当a>﹣1时
①当1+a≥e时,即a≥e﹣1时,f(x)在[1,e]上单调递减,
∴f(x)min=f(e)=e+﹣a>0,解得a<,
∵>e﹣1,
∴e﹣1≤a<;
②当0<1+a≤1,即﹣1<a≤0,f(x)在[1,e]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=1+1+a>0,
解得a>﹣2,故﹣2<a<﹣1;
③当1<1+a<e,即0<a<e﹣1时,f(x)min=f(1+a),
∵0<ln(1+a)<1,
∴0<aln(1+a)<a,
∴f(1+a)=a+2﹣aln(1+a)>2,此时f(1+a)>0成立,
综上,﹣2<a<时,不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立.
19. (12分)已知函数
(1)设ω>0为常数,若y=f(ωx)在区间上是增函数,求ω的取值范围;
(2)设集合,B={x||f(x)-m|<2},若AB,求实数m的取值范围.
参考答案:
【知识点】正弦函数的定义域和值域;集合的包含关系判断及应用。A1 C5
【答案解析】(1);(2)m∈(1,4)
解析:(1)f(x) =……………………2
∵f(ωx)=2sinωx+1在上是增函数.∴,
即…………………………………………………6
(2)由|f(x)-m|<2得:-2<f(x)-m<2,即 f(x)-2<m<f(x)+2.
∵AB,∴当时,f(x)-2<m<f(x)+2恒成立
∴……………………………………………9
又时,,
∴m∈(1,4)……………………………………………………………………12
【思路点拨】(1)化简函数,然后利用
在区间上是增函数,解答即可.(2)先求|f(x)﹣m|<2中的m的范围表达式,f(x)﹣2<m<f(x)+2,m大于f(x)﹣2的最大值,小于f(x)+2的最小值即可.
20. 已知函数。
(1)若的解集为,求实数的值。
(2)当且时,解关于的不等式。
参考答案:
解:(Ⅰ)由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m,
所以解之得为所求.----------------4分
(Ⅱ)当a=2时,f(x)=|x﹣2|,
所以f(x)+t≥f(x+2t)?|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t,①
当t=0时,不等式①恒成立,即x∈R;
当t>0时,不等式
解得x<2﹣2t或或x∈?,即;
综上,当t=0时,原不等式的
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