广西壮族自治区桂林市华江中学高一数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区桂林市华江中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知矩形在矩形内事件A “”的概率P(A) 为                （    ） A.                B.                  C.               D. 参考答案： B 2. 设集合M=，则集合M中所有元素的和等于     （A）1  （B）4  （C）7  （D）8 参考答案： D 解析：不妨设 由 又已知x,y,t均为整数， 于是， 集合M中所有元素的和为0+1+3+4=8 3. 函数的零点所在的一个区间是（    ） A．     B．     C．      D． 参考答案： C 由题意得，， 所以，根据函数零点的性质可得，函数的零点在区间。 4. 函数y=e|x|﹣x3的大致图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】根据函数值得变化情况直接判断即可． 【解答】解：当x≤0时，y＞1， 故选：A 5. 函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为（　　） A．（2，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2） 参考答案： C 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案． 【解答】解：由，解得：﹣1≤x＜2． ∴函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为[﹣1，2）． 故选：C． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 6. 本题8分)某组合体的三视图如图所示，求该组合体的体积.           参考答案： 解：从几何体三视图可得该几何体的直观图，如图所示： 根据三视图所给数据可知该几何体的体积为 . 7. 复数对应的点落在（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： C 【分析】 利用复数的运算法则化简复数，根据复数的几何意义即可求得对应点，即可判断. 【详解】因为， 故其对应的点为， 容易知其位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题. 8. 已知函数 函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 A.       B.           C.           D. 参考答案： A 9. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：     ①;  ②     ③;  ④．     其中不正确命题的序号是(  )     A．①和②     B②和③     C．③和④     D．①和④ 参考答案： C 10. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）. A. 1 B.       C. D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，则m ＝      ． 参考答案： 1 12. 的单调递减区间是___________▲_____________. 参考答案： 13. 正项等比数列其中，则.    参考答案： 1 略 14. M为z轴上一点，M到A（1，0，2）、B（1，﹣3，1）的距离相等，M的坐标为　　． 参考答案： （0，0，﹣3） 【考点】空间两点间的距离公式． 【分析】设出M的坐标，利用M到A（1，0，2）、B（1，﹣3，1）的距离相等，建立方程，即可求得M的坐标． 【解答】解：设M（0，0，t），则 ∵M到A（1，0，2）、B（1，﹣3，1）的距离相等， ∴1+（t﹣2）2=1+9+（t﹣1）2 ∴t=﹣3 ∴M的坐标为（0，0，﹣3） 故答案为：（0，0，﹣3） 15. 将正偶数排列如下表，其中第行第个数表，例如，若，则__________. 参考答案： 62 略 16. 如图所示，已知平面平面，，垂足为A，，垂足为B，直线,，则直线a与直线l的位置关系是_________. 参考答案： 平行 【详解】∵平面平面，， 又，. 同理. 又,平面. ，. 又，， 平面，. 故答案为：平行 【点睛】本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 17. 当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣5] 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可． 【解答】解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象， ∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立， ∴，即， 解得m≤﹣5． ∴m的取值范围是（﹣∞，﹣5]． 故答案为：（﹣∞，﹣5]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点在函数的图象上，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为. （1）求函数的单递增区间和其图象的对称中心坐标； （2）设，，若，求实数的取值范围. 参考答案： （1）的最小值为，周期ks5u 又图象经过点， ，                    ………………3分 单调递增区间为                        ………………5分 对称中心坐标为．                             ………………7分 （2），当时恒成立 即恒成立 即，，． ……………14分 19. 已知点P（2，﹣1）． （1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程； （2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？ 参考答案： 【考点】点到直线的距离公式． 【分析】（1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设l：y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求； （2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离． 【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为x=2； ②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0． 由点到直线距离公式得，得l：3x﹣4y﹣10=0． 故所求l的方程为：x=2  或  3x﹣4y﹣10=0； （2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线， 由l⊥OP，得klkOP=﹣1，kl=， 由直线方程的点斜式得y+1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣5=0． 即直线2x﹣y﹣5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为． 20. 在△ABC中，内角A，B，C的对边满足a＜b＜c，a2﹣c2=b2﹣，a=3，△ABC的面积为6． （1）求角A的正弦值； （2）求边b，c； （2）设D为△ABC内任一点，点D到边BC、AC的距离分别为x，y，求|2x﹣y|的取值范围． 参考答案： 【考点】余弦定理；简单线性规划；正弦定理． 【分析】（1）由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合范围A∈（0，π），即可解得sinA的值． （2）利用三角形面积公式可求得bc=20，由已知及余弦定理可得b2+c2=41，结合b＜c即可得解b，c的值． （3）以C点为坐标原点，边CA所在直线为x轴建立直角坐标系，则x、y满足，设点D到直线2x﹣y=0的距离为d，则|2x﹣y|=d，从而可求|2x﹣y|的范围． 【解答】（本题满分为16分） 解：（1）由a2﹣c2=b2﹣，得： =，即cosA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵A∈（0，π）， ∴sinA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）∵S△ABC=bcsinA=bc=6， ∴bc=20，① 由=及bc=20、a=3，得b2+c2=41，② 由①、②及b＜c解得b=4，c=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （3）以C点为坐标原点，边CA所在直线为x轴建立直角坐标系． 则x、y满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 画出不等式表示的平面区域（如图所示的阴影部分）． 设点D到直线2x﹣y=0的距离为d，则|2x﹣y|=d． 解得|2x﹣y|∈[0，6）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21. （ 12分） 某工厂今年月、月、月生产某产品分别为万件，万件， 万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 (、、为常数)。已知四月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由。 参考答案： 设二次函数为，                          ……1分 由已知得，解之得             ……4分 ∴， 当时， .          ……6分 又对于函数，由已知得， 解之得                        ……9分 ∴    当 时，          根据四月份的实际产量为万件，而，                  所以，用函数作模拟函数较好.           ……12分 22. 已知函数f（x）=4﹣x2 （1）试判断函数f（x）的奇偶性并说明理由； （2）用定义证明函数f（x）在[0，+∞）是减函数． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）先求出函数的定义域，求出f（﹣x），判断出f（﹣x）与f（x）的关系，利用奇函数偶函数的定义判断出f（x）的奇偶性； （2）设出定义域中的两个自变量，求出两个函数值的差，将差变形，判断出差的符号，据函数单调性的定义判断出函数的单调性． 解：（1）f（x）的定义域为R， 又∵f（﹣x）=[4﹣（﹣x）2]=4﹣x2=f（x）， ∴f（x）在R内是偶函数． （2）设x1，x2∈R，0＜x1＜x2 ∵f（x1）﹣f（x2）=（4﹣x12）﹣（4﹣x22）=x22﹣x12=（x2+x1）（x2﹣x1） 又x1，x2∈R，0＜x1＜x2， ∴（x2+x1）＞0，（x2﹣x1）＞0 ∵f（x1）﹣f（x2）＞0， 所以函数f（x）在[0，+∞）是减函数． 【点评】判断函数的奇偶性应该先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数不具有奇偶性，若对称，再检验f（﹣x）与f（x）的关系；利用单调性的定义判断函数的单调性一定要将函数值的差变形到能判断出符号为止．