山西省晋城市第四中学2023年高三数学文期末试题含解析

山西省晋城市第四中学2023年高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的图象大致是 参考答案： A 略 2. 已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点P（sinA﹣cosB，3cosA﹣1）位于(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： A 考点：三角函数值的符号． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：根据A为△ABC最小角得A＜，由余弦函数的性质判断出3cosA﹣1的符号，再由△ABC为锐角三角形得A+B＞，根据诱导公式和正弦函数的性质判断出sinA﹣cosB的符号，即可判断出点P所在的象限． 解答： 解：因为A为△ABC最小角，所以A＜， 则＜cosA＜1，所3cosA﹣1＞0， 因为△ABC为锐角三角形，所以A+B＞， 则A＞﹣B，所以sinA＞sin（﹣B）=cosB，即sinA﹣cosB＞0， 所以点P（sinA﹣cosB，3cosA﹣1）位于第一象限， 故选：A． 点评：本题考查诱导公式，正弦、余弦函数的性质，以及三角形中的角的性质，属于中档题． 3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是(    ) 相关系数为    相关系数为 相关系数为   相关系数为 A. B. C. D. 参考答案： A 4. 已知函数f（x）=﹣（a+1）x+a（a＞0），其中e为自然对数的底数．若函数y=f（x）与y=f[f（x）]有相同的值域，则实数a的最大值为（　　） A．e B．2 C．1 D． 参考答案： B 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的值域，问题转化为即[1，+∞）?[，+∞），得到关于a的不等式，求出a的最大值即可． 【解答】解：f（x）=﹣（a+1）x+a（a＞0）， f′（x）=?ex+ax﹣（a+1），a＞0， 则x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减， x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增， 而x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）=， 即f（x）的值域是[，+∞），恒大于0， 而f[f（x）]的值域是[，+∞）， 则要求f（x）的范围包含[1，+∞）， 即[1，+∞）?[，+∞）， 故≤1，解得：a≤2， 故a的最大值是2， 故选：B． 5. 设集合，为自然数集，则中元素的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： C 试题分析：，即，则，共有5个元素．故选C． 考点：集合的运算． 6. 在锐角ABC中，若C=2B，则的范围是（    ） A.（0，2）    B.     C.      D.  参考答案： C 7. 三角形ABC中A，B，C的对边分别为,,则A的取值范围为 (    ) A.         B.         C.（）        D. 参考答案： C 略 8. 函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A.        B.         C.        D. 参考答案： B 略 9. 已知数列{}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（   ） A．3  B．-3        C.2 D. -2 参考答案： A 略 10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c成等比数列，且，则cos B等于（　） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出． 【详解】解：成等比数列，，又，， 则 故选：B。 【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将一枚骰子抛掷两次，记先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为        ． 参考答案： 12. 设点P（x，y）满足条件，点Q（a，b）（a≤0，b≥0）满足?≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是　　． 参考答案： 【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算． 【分析】由已知中在平面直角坐标系中，点P（x，y），则满足?≤1的点Q的坐标满足，画出满足条件的图形，即可得到点Q的轨迹围成的图形的面积． 【解答】解：∵ ?≤1， ∴ax+by≤1， ∵作出点P（x，y）满足条件的区域如图， 且点Q（a，b）满足?≤1恒成立， 只须点P（x，y）在可行域内的角点处：A（﹣1，0），B（0，2），ax+by≤1成立即可， ∴，即， 它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 13. 在中，，，，设点，满足 .若，则的值是   ▲   ． 参考答案： 14. 如图，是圆的切线，切点为点，直线与圆交于、两点，的角平分线交弦、于、两点，已知，，则的值为         . 参考答案： 15. 下列说法中正确的有________ ①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。 ④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。 参考答案： ③④ 16. 参考答案： 略 17. 已知命题p：m＜0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是　　． 参考答案： ﹣2＜m＜0 【考点】复合命题的真假． 【分析】根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的范围，最后求它们的交集． 【解答】解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题， 若命题q是真命题，则?x∈R，x2+mx+1＞0横成立， 所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2， 又命题p：m＜0，也是真命题， 所以实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0， 故答案为：﹣2＜m＜0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f(x)= ?lnx （1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （2）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. 参考答案： （Ⅰ）函数f（x）的导函数， 由得， 因为，所以． 由基本不等式得． 因为，所以． 由题意得． 设， 则， 所以 x （0，16） 16 （16，+∞） - 0 + ↘ 2-4ln2 ↗   所以g（x）在[256，+∞）上单调递增， 故， 即． （Ⅱ）令m=，n=，则 f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a<≤<0， 所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a， 所以，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点． 由f（x）=kx+a得． 设h（x）=， 则h′（x）=， 其中g（x）=． 由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根． 综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点． 19. （本小题12分） 如图，在矩形ABCD中，,P、Q分别 为线段AB、CD的中点， （1）求证： （2）求证： （3）若 ,求三棱锥的体积 参考答案： 略 20. （本小题满分10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5。 求：（I）⊙O的半径； （II）sin∠BAP的值。 参考答案： （Ⅰ）因为PA为⊙O的切线，所以, 又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20-5=15      ………2分. 因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5.     ………4分 （Ⅱ）∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB,        ………………5分 又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴   ………7分 设AB=k，AC=2k, ∵BC为⊙O的直径， ∴AB⊥AC∴            ………………8分 ∴sin∠BAP=sin∠ACB=          ………………10分 21. 已知数列满足：，，，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求和． 参考答案： .解：(1)等差数列的首项为, 公差  ∴ 即，∴．  (2)∵． ∴ ． 22. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。 参考答案： 解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。 由方程组，消去y，得，即(k?1)x2+x?1=0。由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k?1)>0…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…(4)。同理可求得直线l2的方程为…(5)。(4)?(5)得，因为x1≠x2，故有…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2，而xp=2，得yp=4?2k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。