福建省宁德市柘荣第三中学高三数学文期末试卷含解析

福建省宁德市柘荣第三中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=，那么等于         （    ）        A．                B．            C．            D． 参考答案： B 略 2. 对于空间的一条直线m和两个平面，下列命题中的真命题是    A.若则   B. .若则     C.若则   D. 若则 参考答案： 【答案解析】C  解析：若则平面可能平行可能相交，所以A,B是假命题；显然若则成立，故选C. 【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论. 3. 已知，，则的值为 (A).             (B).                (C).                (D). 参考答案： C 略 4. 在等比数列{an}中，若，则(  ) A. B. C. 2 D. 4 参考答案： D 【分析】 由等比数列性质得q,即可求解 【详解】，则 故选：D 【点睛】本题考查等比数列的运算及基本性质，熟记公式是关键，是基础题 5. 函数的最大值与最小值之和为（   ）。 (A)      (B) 0   (C)          (D) 参考答案： A 6. 已知椭圆（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x﹣y+5=0，弦的中点坐标是M（﹣4，1），则椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率． 【解答】解：设直线x﹣y+5=0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）， 由x1+x2=﹣8，y1+y2=2， 直线AB的斜率k==1， 由，两式相减得： +=0， ∴=﹣×=1， ∴=， 由椭圆的离心率e===， 故选：D． 　 7. 函数f（x）在定义域R上不是常函数，且f（x）满足条件，对任何x∈R，都有f（x+2）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），则f（x）是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 参考答案： B 【考点】3K：函数奇偶性的判断． 【分析】根据对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），f（1+x）=﹣f（x），知f（2+x）=f[1+（1+x）]=﹣f（1+x）=f（x），f（2﹣x）=f[1+（1﹣x）]=﹣f（1﹣x）=﹣f[1+（﹣x）]=f（﹣x），故f（x）为偶函数，由函数f（x）在定义域R上不是常函数易得函数f（x）不可能为奇函数，即可得答案． 【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（1+x）=﹣f（x） ∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=﹣f（1+x）=f（x），f（2﹣x）=f[1+（1﹣x）]=﹣f（1﹣x）=﹣f[1+（﹣x）]=f（﹣x） 又∵对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x） ∴f（x）=f（﹣x） 故f（x）为偶函数 又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数，函数f（x）在定义域R上不是常函数 ∴函数f（x）不可能为奇函数 故选B 【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及变量整体代入法，属于基础题． 8. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D． 参考答案： A 【考点】正弦函数的图象． 【分析】根据f（）=﹣f（0），代入f（x）建立关系，0＜φ＜，可得，﹣＜﹣φ＜0，那么令π≤ω+φ，即可求解ω范围．可得ω的最小值． 【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜）， ∵f（）=﹣f（0），即sin（﹣φ）=sin（ω×+φ）， ∵0＜φ＜， ∴﹣＜﹣φ＜0， 那么令π＜ω×+φ， 可得：φ． 令，解得：ω=． 故选：A． 9. 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】平面与圆柱面的截线． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率． 【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆， 则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为： =， ∵a2=b2+c2，∴c=， ∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力． 10. 集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A. B．      C.            D． 参考答案： 【知识点】集合的运算A1 D因为 ，，所以，即，故选D. 【思路点拨】由集合的运算直接计算即可. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数的图象恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数. 已知下列函数：①；②；③；④．则其中为一阶格点函数的序号为             ．（写出所有正确命题的序号） 参考答案： ②④ 12. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示. 据图可得这100名学生中体重在范围[58.5，74.5]内的学生人数是         .   参考答案： 答案：89 13. 如图，在Rt△ADE中，是斜边AE的中点，以为直径的圆O与边DE相切于点C，若 AB＝3，则线段CD的长为 ． 参考答案： 14. 已知是虚数单位，则▲. 参考答案： 【知识点】复数的基本运算.L4   解析：,故答案为。 【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以即可。 15. 【题文】已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为                 . 参考答案： 16. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则       ； 参考答案： -3 17. 不等式的解集是                  参考答案： 原不等式等价为，即，所以不等式的解集为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求圆被直线(是参数)截得的弦长. 参考答案： 将极坐标方程转化成直角坐标方程: 即:,即; ……2分 即: ,    ………………………….4分 , ……………………………………6分 即直线经过圆心,所以圆被直线截得的弦长为 ………………7分 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若圆O：x2+y2=1的切线l与曲线E相交于A、B两点，线段AB的中点为M，求|OM|的最大值． 参考答案： 【考点】K5：椭圆的应用． 【分析】（I）根据条件列方程组解出a，b即可得出椭圆的方程； （II）设直线l方程为x=my+t，联立方程组消元，利用根与系数的关系求出M的坐标，根据距离公式求出|OM|的最值． 【解答】解：（ I）由题意得，解得a=2，b=1． ∴椭圆C的标准方程． （ II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 若直线l的斜率为0，则l方程为y=±1，此时直线l与椭圆只有1个交点，不符合题意； 设直线l：x=my+t． ∵l与圆O相切，∴，即t2=m2+1； 联立方程组，消去x，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4=0， 则△=4m2t2﹣4（t2﹣4）（m2+4）=16（m2﹣t2+4）=48＞0， ∴，∴，，即， ∴， 设x=m2+4，则x≥4，， ∴当x=8时等号成立，|OM|取得最大值=． 20. （本小题满分13分）     已知函数．     （1）若a=l，求在上的最大值；     （2）利用（1）的结论证明：对任意的正整数n，不等式都成立：     （3）是否存在实数a（a>0），使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 参考答案： 略 21. 已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点． （1）求证：BC⊥平面AEC； （2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）在图1中，过C作CF⊥EB，连接CE，证明BC⊥CE，在图2中，利用AE⊥EB，AE⊥ED，可证AE⊥平面BCDE，从而可得AE⊥BC，即可证明BC⊥平面AEC （2）用反证法．假设EM∥平面ACD，从而可证面AEB∥面AC，而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾，故可得结论． 【解答】（1）证明：在图1中，过C作CF⊥EB ∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形， ∵CD=1，∴EF=1． ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1． ∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1． 连接CE，则CE=CB=， ∵EB=2，∴∠BCE=90°， ∴BC⊥CE．                                                                                      在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E， ∴AE⊥平面BCDE． ∵BC?平面BCDE，∴AE⊥BC．                                                       ∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．                                                     （2）解：用反证法．假设EM∥平面ACD．                           ∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD， ∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                          而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾． ∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行． 22. （本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，已知    （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的面积. 参考答案： 略