山东省济宁市东方中学高二数学理测试题含解析

山东省济宁市东方中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若在上是减函数，则b的取值范围是（   ） A．              B．         C．          D． 参考答案： C 略 2. 已知圆的方程为，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（      ） A、（y≠0）                   B、（y≠0） C、（x≠0）                   D、（x≠0） 参考答案： B 略 3. 若是真命题，是假命题，则（　　） A．是真命题     B．是假命题    C．是真命题       D．是真命题 参考答案： D 4. 下列命题中的假命题是(  ) A.   B.    C.   D. 参考答案： C 略 5. 已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（   ） A．0.3413         B．0.3174       C．0.1587        D．0.1586 参考答案： C 6. 对于实数a和b，定义运算“*”：设 ，且关于x的方程为恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，则x1·x2·x3的取值范围是 A．(,0)         B．(,0)        C．(0, )         D．(0, ) 参考答案： A 7. 已知满足,记目标函数的最大值为，最小值为，则 Ａ．1        Ｂ．2         C．7      D．8 参考答案： D 8. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（     ） A．3   B．2          C．1   D． 参考答案： A 9. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（   ） A.个 B．个     C．个      D．个 参考答案： A 10. 等比数列中，， ，则的值是（    ） A．14     B．18     C．16    D．20 参考答案： C ，在等比数列中构成等比数列， 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=x3+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： a＜0 考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系；函数在某点取得极值的条件． 专题： 计算题． 分析： 题目中条件：“在R上有两个极值点”，利用导数的意义．即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可． 解答： 解：由题意，f′（x）=3x2+a， ∵f（x）=ax3+x恰有有两个极值点， ∴方程f′（x）=0必有两个不等根， ∴△＞0，即0﹣12a＞0， ∴a＜0． 故答案为：a＜0． 点评： 本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析． 12. 函数，若恒成立，则实数a的取值范围是     参考答案：   13. 在平面直角坐标系中，椭圆内接矩形面积的最大值为        . 参考答案： 略 14. 已知复数z=x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|=，则的范围为        ． 参考答案： 考点：复数求模． 专题：计算题． 分析：利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出． 解答： 解：∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|，， ∴． ∴（x﹣2）2+y2=3． 设，则y=kx． 联立，化为（1+k2）x2﹣4x+1=0． ∵直线y=kx与圆有公共点， ∴△=16﹣4（1+k2）≥0，解得． ∴则的范围为． 故答案为． 点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键． 15. 已知，则p是q的____▲____条件.（填充分不必要、必要不充分，充分必要，既不充分也不必要） 参考答案： 充分不必要 16. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为         . 参考答案： 【考点】3R：函数恒成立问题；3K：函数奇偶性的判断；5A：函数最值的应用． 【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案． 【解答】解：当x≥0时， f（x）=， 由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2； 由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2． ∴当x＞0时，． ∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，． ∵对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：． 故实数a的取值范围是． 17. 已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则__________；__________． 参考答案： ； 解：双曲线渐近线为， ∴， 即， ∵，， ∴，． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生王某在本科期间共申请了元助学贷款，并承诺在毕业后年内（按个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月元，第个月开始，每月工资比前一个月增加直到元.王某计划前个月每个月还款额为，第个月开始，每月还款额比前一月多元. （Ⅰ）用和表示王某第个月的还款额； （Ⅱ）若王某恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求的值； （Ⅱ）当时，王某将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月元的基本生活费？（参考数据：） 参考答案： 解：（Ⅰ） ……………………4分 （Ⅱ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为构成等差数列，其中，公差为. 从而，到第个月，王某共还款 …………………… 6分 令，解之得（元）. 即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还元. ………………8分 （Ⅲ）设王某第个月还清，则应有 整理可得，解之得，取. …………10分 即王某工作个月就可以还清贷款.这个月王某的还款额为 （元） 第32个月王某的工资为元. ……………………11分 因此，王某的剩余工资为，能够满足当月的基本生活需求.  ……… 12分 19. 如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1． （1）求证：AE⊥PB； （2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）由线面垂直得PA⊥BC，由圆O的直径，得AC⊥BC，从而AE?平面PAC，进而BC⊥AE，由等腰三角形性质得AE⊥PC，由此能证明AE⊥PB． （2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF，推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值． 【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC ∴PA⊥BC， 又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点 ∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC ∴BC⊥AE… ∵PA=AC，E是PC的中点 ∴AE⊥PC，又BC∩PC=C ∴AE⊥平面PBC，又PB?平面PBC ∴AE⊥PB． … 解：（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF 又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A ∴PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF ∴PB⊥EF，又AF⊥PB ∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角… ∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，则， 在Rt△PAB中，PA=1，，同理得 ∴在Rt△AEF中， 故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．… 20. （本小题满分12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人.（以下问题用数字作答） （1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？ （2）这6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？ （3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率． 参考答案： （1） 故共有63种不同的去法  ……4分 （2） 故共有504种不同的安排方法 ……… 8分 （3） 故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为 …… 12分 21. (本小题满分16分)设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）． （1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围； （2）对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由． 参考答案：     22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线． (1) 求曲线的方程； (2) 设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标； (3) 设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由． 参考答案： (1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线    所以曲线C的方程为x2=4y；……………………………………………………………4分 (2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0)， |AT|==， a–2>0，则当y0=a–2时，|AT|取得最小值为2， 2=a–1,  a2–6a+5=0，a=5或a=1 (舍去)， 所以y0=a–2=3，x0=?2，所以T坐标为(?2, 3)；……………………………10分 (3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，， ，解之得P1(,)，同理P2(–4k, 4k2)， 直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为： 整理得：k(y–4)+(k2–1)x=0，所以直线P1P2恒过点(0, 4)………………………………16分