2022-2023学年福建省龙岩市三洲中学高二数学文下学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省龙岩市三洲中学高二数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣1，2] B．（﹣1，2） C．[﹣2，1] D．（﹣2，1） 参考答案： A 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解． 【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1， ∵ex+1＞1，∴∈（0，1）， 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx， 又﹣2sinx∈[﹣2，2]， ∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]， 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1， 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 则，解得﹣1≤a≤2． 即a的取值范围为﹣1≤a≤2． 故选：A． 2. 已知各项均为正数的等比数列，，，则（     ）  A．       B． 7            C． 6            D． 参考答案： A 3. 若复数z满足|z|=2，则|1+i+z|的取值范围是（　　） A．[1，3] B．[1，4] C．[0，3] D．[0，4] 参考答案： D 【考点】复数求模． 【分析】设z=a+bi（a，b∈R），可得a2+b2=4，知点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1+i+z|表示点Z（a，b）到点M（﹣1，﹣）的距离，结合图形可求． 【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R）， 则=2，即a2+b2=4，可知点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆， |1+i+z|表示点Z（a，b）到点M（﹣1，﹣）的距离， ∵（﹣1，﹣）在|z|=2这个圆上， ∴距离最小是0，最大是直径4， 故选：D． 4. 已知都是实数，那么“ ”是“ ”的(　　) A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 略 5. 若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于（     ） A.{x|0＜x＜1}            B.{x|0＜x＜3}      C.{x|1＜x＜3}               D. 参考答案： A 6. 双曲线的渐近线方程是2x±y=0，则其离心率为（　　） A． B． C． D．5 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由双曲线的渐近线方程是2x±y=0，得到b=2k，a=k，c=，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵双曲线的渐近线方程是2x±y=0， ∴b=2k，a=k，c=， ∴e===． 故选A． 7. 给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（　　） A．在直线y=﹣3x上 B．在直线y=3x上 C．在直线y=﹣4x上 D．在直线y=4x上 参考答案： B 【考点】导数的运算． 【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决． 【解答】解：f'（x）=3+4cosx+sinx，f''（x）=﹣4sinx+cosx=0，4sinx0﹣cosx0=0， 所以f（x0）=3x0， 故M（x0，f（x0））在直线y=3x上． 故选：B． 【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题． 8. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称 ∴y=f（x）的图象关于x=2对称 ∴f（4）=f（0） 又∵f（4）=1，∴f（0）=1 设g（x）=（x∈R），则g′（x）== 又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex ∴g（x）＜1 又∵g（0）==1 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故选B． 9. 对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中恒成立的是（       ） ⑴     　　　  ⑵ ⑶     　　　 ⑷ A. ⑴、⑵、⑶、⑷               B. ⑴、⑵、⑶          C. ⑴、⑶                 D.⑵、⑷  参考答案： C 10. 已知点P（）和点A（2,3）在直线l：x+4y-6=0的异侧，则（    ） A．   B．    C．    D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程+=1表示焦点位于y轴上的椭圆有     个． 参考答案： 10 考点：椭圆的标准方程． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：根据a＜b，对A中元素进行分析可得到答案． 解答： 解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b， 当b=2时，a=1； 当b=3时，a=1，2； 当b=4时，a=1，2，3； 当b=5时，a=1，2，3，4； 共10个 故答案为：10 点评：本题主要考查椭圆的标准形式，此题的关键是根据条件得出a＜b．属基础题． 12. 在随机数模拟试验中，若  ,    ，  表示生成到之间的随机数,共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可估计为           。 参考答案： 13. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是                           参考答案： 等腰或直角三角形 略 14. 双曲线的两条渐近线的方程为____________. 参考答案： 略 15. 已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为           . 参考答案： 44    16. 与圆x 2 + y 2 – 4 x – 8 y + 15 = 0切于点A( 3，6 )且过点B( 5，6 )的圆的方程是           。 参考答案： x 2 + y 2 – 8 x – 16 y + 75 = 0 17. 如果复数 ,则的模为      参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. .在长方体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是BB1的中点. （1）求证：EF∥平面A1DC1； （2）若，求二面角的正弦值. 参考答案： （1）见解析（2） 【分析】 （1）由于长方体中，因此只要证，这由中位线定理可得，从而可得线面平行； （2）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得． 【详解】（1）证明：连接，∵分别为的中点， ∴ ∵长方体中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴ ∵平面，平面，∴平面 （2）解：在长方体中，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量，则， 取，则 同样可求出平面的一个法向量 ∴ ∴二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用空间向量法求二面角．本题属于基础题型． 19. （本小题满分10分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和最小值； （Ⅱ）设的内角对边分别为与垂直，求的值. 参考答案： 解：（Ⅰ）……………………2分 函数的周期为1，最小值为0………………………4分 （Ⅱ）由题意可知， （舍）或………………6分 垂直，①…………8分  ② ………………………………….9分        联立①②解得，………………………………………………………………10分 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1． （I）求证：CD⊥平面PAC （II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定；空间图形的公理． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】（I）由面面垂直的性质证出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用题中数据算出CD2+AC2=1=AD2，从而AC⊥CD．最后利用线面垂直的判定定理，即可证出CD⊥平面PAC； （II）取PD的中点F，连结BE、EF、FC．利用三角形的中位线定理和已知条件BC∥AD且BC=AD，证出四边形BEFC为平行四边形，可得BE∥CF．最后利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面PCD． 【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD． 又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA?侧面PAD， 且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD． ∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD． ∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1． ∴AC==，∠CAB=∠CAD=45° △CAD中由余弦定理，得 CD== 可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD． 又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC． （II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD， 证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则 ∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=AD． ∵BC∥AD，BC=AD，∴BC∥EF，且BC=EF， ∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF． ∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD． 【点评】本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性．着重考查了空间垂直、平行的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题． 21. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若曲线在点)处与直线相切，求与的值. 参考答案： 解：（1）由，得.  令，得.      与随x的变化情况如下:     所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值.     （2）因为曲线在点处与直线相切， 所以，，    解得，. 略 22. （本小题满分10分） 已知函数的图像与轴无交点；方程表示