2022-2023学年湖南省长沙市枫木桥中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市枫木桥中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270； 使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如 果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （   ） A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样 参考答案： D 2. 已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2，那么不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】先求得当x＞0时的x的范围，再利用奇函数的性质求得当x＜0时，f（x）的解析式，求得不等式的解集，综合可得要求的不等式的解集． 【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣2，不等式，即x﹣2＜，求得0＜x＜． 当x=0时，f（x）=0，满足不等式成立， 当x＜0时，﹣x＞0，此时 f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），f（x）=x+2， 不等式，即x+2＜，求得x＜﹣， 综上可得，不等式的解集是{x|0≤x＜，或x＜﹣}， 故选：B． 3. 已知集合A={x|y=lnx},集合B={－2,－1,1,2}，则AB=   (  ) A.                   B.               C.                   D.  参考答案： A 略 4. 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（　　） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定 参考答案： B 【考点】二分法求方程的近似解． 【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号． 【解答】解析：∵f（1.5）?f（1.25）＜0， 由零点存在定理，得， ∴方程的根落在区间（1.25，1.5）． 故选B． 5. 已知在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 参考答案： D 【考点】HR：余弦定理． 【分析】根据正弦定理化简已知的等式，得到三角形的三边之比，设出三角形的三边，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a，b及c代入即可求出cosC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，即为三角形最大角的度数． 【解答】解：设三角形的三边长分别为a，b及c， 根据正弦定理==化简已知的等式得： a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k， 根据余弦定理得cosC===﹣， ∵C∈（0，180°），∴C=120°． 则这个三角形的最大角为120°． 故选D 6. 若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　） A．{lgan} B．{1+an} C． D． 参考答案： C 【考点】88：等比数列的通项公式． 【分析】求出，在A中，不一定是常数；在B中，{1+an}可能有项为0；在C中，利用等比数列的定义，可知{}的公比是原来公比的倒数；在D中，当q＜0时，数列{an}存在负项，此时无意义． 【解答】解：∵数列{an}是等比数列，∴， 在A中， ==不一定是常数，故A不一定是等比数列； 在B中，{1+an}可能有项为0，故B不一定是等比数列； 在C中，利用等比数列的定义，可知{}的公比是原来公比的倒数，故C一定是等比数列； 在D中，当q＜0时，数列{an}存在负项，此时无意义，故D不符合题意． 故选：C． 7. 设全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩?UB=(     ) A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{|x＞1} 参考答案： B 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合． 【分析】由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可． 【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}， ∴?UB={x|x≤1}， 则A∩?UB={x|0＜x≤1}， 故选：B． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 8. 已知直线与，若，则 （     ） A．2                B．         C．           D．  参考答案： C 略 9. 下列说法中，正确的是(　　) ①任取x∈R都有3x＞2x；  ②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a－x； ③y＝()－x是增函数；    ④y＝2|x|的最小值为1； ⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称． A．①②④    B．④⑤     C．②③④     D．①⑤ 参考答案： B 略 10. 若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞） D．（﹣∞，] 参考答案： B 【考点】函数单调性的性质． 【分析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案． 【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线 又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数， 故2≤ 解得a≤﹣ 故选B． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调递增区间是    。 参考答案： 设 ， 或 为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.   12. 设x，y∈R，向量=（x，2），=（1，y），=（2，﹣6），且⊥，∥，则|+|=　     　． 参考答案： 【考点】平行向量与共线向量． 【分析】利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵⊥，∥，∴2x﹣12=0，2y+6=0， 解得x=6，y=﹣3． 则+=（7，﹣1），|+|==5． 故答案为：． 　 13. 已知角的终边过点，且，则的值为______，=　　____． 参考答案： , 14. 若函数f（x）=x2﹣2|x|+m有两个相异零点，则实数m的取值范围是　    　． 参考答案： m=1或m＜0 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【分析】作出函数g（x）=x2﹣2|x|的图象，函数f（x）=x2﹣2|x|+m有两个相异零点，即g（x）与y=﹣m有两个相异零点，利用图象，可得结论． 【解答】解：函数g（x）=x2﹣2|x|的图象，如图所示， ∵函数f（x）=x2﹣2|x|+m有两个相异零点， ∴﹣m=﹣1或﹣m＞0， ∴m=1或m＜0． 故答案为m=1或m＜0． 【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确作出函数的图象是关键． 　 15. 已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是　　． 参考答案： [1，2] 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】先画出二次函数图象：观察图象，欲使得闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，区间[0，m]的右端点必须在一定的范围之内（否则最大值会超过3或最小值达不到2），从而解决问题． 【解答】解：通过画二次函数图象 观察图象，欲使得闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2， 区间[0，m]的右端点必须在抛物线顶点的右侧， 且在2的左侧（否则最大值会超过3） ∴知m∈[1，2]． 答案：[1，2] 16. 中,角所对的边分别为,,,,则_______. 参考答案： 略 17. 在程序框图中，图形符号的名称是___________表示的意义____________ 参考答案： 连接线 连接的方向 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分）在边长为10的正方形内有一动点，=9，作于，于，求矩形面积的最小值和最大值，并指出取最大值时的具体位置。         参考答案： 连结，延长交于，设，则， 设矩形的面积为，则               ………………………….4分       设，则       又，                               （ ）……………………8分                 当时，                  10分         当时，         此时，，又         ………………………………………………………….13分 19. 为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，点Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到1m2）． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】如图，先以BC边所在直线为x轴，，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求得直线AB的方程，再设出Q坐标，由矩形面积公式建立模型，然后根据函数的类型选择适当的方法求其最值． 【解答】解：如图，以BC边所在直线为x轴，，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，20），B（30，0）． 所以直线AB的方程为： +=1， 即 设，则矩形PQRD的面 积为 （0≤x≤30） 化简，得（0≤x≤30） 配方，（0≤x≤30） 易得当x=5，y=时，S最大，其最大值为Smax≈6017m2 20. 已知函数. （1）求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心坐标； （2）求函数f(x)的单调增区间及f(x)在上的最大值和最小值. 参考答案： 解： ∴的最小正周期为 由得：，，解得：, ∴的图象的对称中心坐标为， （2）由，解得：， ∴的单调区间为， ∴在上是增函数，在上是减函数 ∴当时 是与中的较小者 ∵ ∴   21. 已知函数，． （1）若，求x的值； （2）对于任意实数，，试比较与的大小； （3）若方程在区间[1,2]上有解，求实数a的取值范围． 参考答案： 解：（1）方程即， 时，，，由可得，则； 时，，即，无解． 综上，． （2） ，当且仅当时等号成立， 则时，，时，． （3）由题意，在上有解