2023年广东省汕头市丹阳中学高三数学文测试题含解析

2023年广东省汕头市丹阳中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限    B．第二象限          C．第三象限 　　D．第四象限 参考答案： 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4 D   解析：复数z===3﹣i， 复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点（3，﹣1）．在第四象限． 故选：D． 【思路点拨】化简复数为a+bi的形式，即可得到复数在复平面内对应的点所在象限． 2. 如图，半径为1的圆切直线于点，射线从出发绕着点顺时针方向旋转到，旋转过程中交⊙于点，记为，弓形的面积，那么的大致图象是  参考答案： A 3. 己知函数，则下列结论中正确的是     (A)若 是的极值点，则在区间内是增函数     (B) 若 是的极值点，则在区间内是减函数     (C) ，且     (D) ，在上是增函数 参考答案： D 略 4.    （1）；（2）；（3）；（4）     其中正确的命题是        A．（1）（2）         B．（2）（4）         C．（1）（3）         D．（3）（4） 参考答案： C 略 5. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则 A .{5，7}            B. {2，4}            C.{2,4,8}         D. {1,3,5,7} 参考答案： B 6. 某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程 中各至少选一门，则不同的选法共有       A. 3种　　　　　　　　B. 6种　　　　　　C. 9种　　　　　D.18种 参考答案： C  【知识点】计数原理的应用．J1 解析：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C 【思路点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 7. 已知集合U=R，集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，则A B=   A．{x|1≤x≤3}    B．{x|－1≤x≤3}    C．{x| 00)的焦点F作直线l，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若，则直线l的斜率为___________． 参考答案： 略 12. ．在等差数列中，已知，则该数列前项和           ． 参考答案： 13. 设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角         ． 参考答案： 14. 已知定义在R上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______. 参考答案： (0,+∞) 【分析】 根据为偶函数可得图像关于对称.由此求得，构造函数，利用导数研究的单调性，由将原不等式转化为，由此求得的取值范围. 【详解】∵为偶函数，∴的图象关于对称， ∴的图像关于对称，∴.又，∴. 设，则. 又∵，∴，∴，∴在上单调递减.∵，∴，即.又∵，∴，∴. 【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数图像变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题. 15. 求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为　    　． 参考答案： {﹣1，2} 略 16. 函数的单调递增区间是              ； 参考答案： 17. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）． 节 气 冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 惊蛰 （寒露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （处暑） 立夏 （立秋） 小满 （大暑） 芒种 （小暑） 夏至 晷影 长 （寸） 135.0 75.5 16.0 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为　 　寸． 参考答案： 82 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8， 则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6． ∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0． ∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸． 故答案为：82． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设的导数满足，其中常数。 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求函数的极值。 参考答案： 略 19. 已知等差数列{an}满足a1=1，且a2、a7﹣3、a8成等比数列，数列{bn}的前n项和Tn=an﹣1（其中a为正常数）． （1）求{an}的前项和Sn； （2）已知a2∈N*，In=a1b1+a2b2+…+anbn，求In． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）通过a2、a7﹣3、a8成等比数列，计算可得d=1或，进而可得结论； （2）通过a2∈N*及a1=1可得an=n，进而可得bn=an﹣1（a﹣1）（n∈N*），分a=1、a≠1两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）设{an}的公差是d， ∵a2、a7﹣3、a8成等比数列， ∴a2?a8=， ∴（1+d）（1+7d）=（1+6d﹣3）2， ∴d=1或， 当d=1时，； 当时，； （2）∵a2∈N*，a1=1， ∴{an}的公差是d=1，即an=n， 当n=1时，b1=a﹣1， 当n≥2时，， ∵b1=a﹣1=a1﹣1（a﹣1）满足上式， ∴bn=an﹣1（a﹣1）（n∈N*）， 当a=1时，bn=0，∴In=0； 当a≠1时，， ∴aIn=a（a﹣1）+2a2（a﹣1）+…+（n﹣1）an﹣1（a﹣1）+nan（a﹣1）， ∴=an﹣1﹣nan（a﹣1）， ∴In=nan﹣， ∴In=． 【点评】本题考查求数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 20. 等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）令Cn=设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n． 参考答案： 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3． 得，解得 ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，． （Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）， 则n为奇数，cn==， n为偶数，cn=2n﹣1． ∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n） = ==． 考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）．则n为奇数，cn==．“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出． 解答：解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3． 得，解得 ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，． （Ⅱ）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2）， 则n为奇数，cn==， n为偶数，cn=2n﹣1． ∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n） = ==． 点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21. （12分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中点，                （Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC； （Ⅱ）求GB与平面AGC所成角正弦值；                （Ⅲ）求二面角B—AC—G的平面角的正弦值   参考答案： 解析：解法一（几何法）    （Ⅰ）证明：正方形ABCD  ∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB， ∴CB⊥面ABEF    ∵AG，GB面ABEF，  ∴CB⊥AG，CB⊥BG 又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点， ∴AG=BG=，AB=2a，AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG   ∵CG∩BG=B， ∴AG⊥平面CBG   面AG面AGC， 故平面AGC⊥平面BGC.…4分 （Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC， 且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC， 垂足为H，则BH⊥平面AGC，   ∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角 ∴Rt△CBG中 又BG=，∴              ……8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC，   作BO⊥AC，垂足为O，连结HO， 则HO⊥AC，∴∠BOH为二面角B—AC—G的平面角在Rt△ABC中， 在Rt△BOH中，  即二面角B—AC—G的平面角的正弦值为.         ……12分 [方法二]（向量法） 解法：以A为原点建立直角坐标系，则A（0，0，0）， B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0） （Ⅰ）证明：略 （Ⅱ）由题意可得， ， 设平面AGC的法向量为， 由 （Ⅲ）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD， 平面ABCD的法向量， 得