2023年安徽省黄山市凫峰中学高二数学文模拟试卷含解析

2023年安徽省黄山市凫峰中学高二数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设复数满足,则（  　） A． B． C． D． 参考答案： A 2. 已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： D 3. 如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是          (　 　) A．EH∥FG  B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱  D．Ω是棱台 参考答案： D 4. 若 , ，则p是q的 (  ) A.充分不必要条件            B.必要不充分条件  C.充要条件                  D.既不充分也不必要条件 参考答案： A 5. 过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（    ）    A．    B．   C．   D． 参考答案： C 略 6. 若是的导函数，要得到的图像，需将的图像（    ） （A）向左平移个单位            (B) 向右平移 个单位  (C)  向左平移个单位            (D) 向右平移个单位 参考答案： A 7. 某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有(　　) A．30种             B．36种  C．42种          D．48种 参考答案： C 8. 在三棱锥P﹣ABC中，D为底面ABC的边AB上一点，M为底面ABC内一点，且满足，，则三棱锥P﹣AMD与三棱锥P﹣ABC的体积比为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由题意画出图形，结合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，进一步得到△ADM与△ABC面积的关系得答案． 【解答】解：如图， 设三棱锥P﹣ABC的底面三角形ABC的面积为S，高为h， ∵，， ∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM， ∴=． ∴=． 故选：D． 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查平面向量在求解立体几何问题中的应用，是中档题． 9. 已知向量=（1，x），=（1，﹣x），若2+与垂直，则||=（　　） 　 A． 4 B． 2 C． D． 参考答案： B 略 10. 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和=    A.  58                   B.  88                  C.  143                       D.  176 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知变量满足则的最小值是      ． 参考答案： 2 略 12. 以下命题正确的是 （1）若； （2）若，则必要非充分条件； （3）函数； （4）若奇函数满足，则函数图象关于直线对称． 参考答案： (1),(2) 13. 已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是      ． 参考答案： 设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,根据椭圆及双曲线的定义: ,解得,设 则在中,由余弦定理可得:,化简得,即 ,故填   14. 若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________． 参考答案： a＜0 略 15. 设则的值为____________． 参考答案： 11 16. 抛物线 = 8的弦AB轴，且＝4，则AB到焦点的距离是____ 参考答案： 1 17. 若实数满足,则的最小值为_____________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题12分）给出四个等式：        1＝1 1－4＝－(1＋2) 1－4＋9＝1＋2＋3 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4) ……　　　　　　　　　　　 （1）写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N*)个等式 （2）用数学归纳法证明你猜测的等式． 参考答案： 第5行  1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------2分 第6行  1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------4分 第n行等式为： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1 ·(1＋2＋3＋…＋n)．-------------6分 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．--------------------8分 (2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·. 则当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ∴当n＝k＋1时，等式也成立 根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N*等式均成立．--------------------------12分 19. 在ΔABC中 ，已知，解三角形ABC。 参考答案： 略 20. (本小题满分14分) 等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2），底边的一个端点B的坐标是（3，5），求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形？ 参考答案： 21. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=4，BD=2，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD； （Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD，从而得到∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵CD2=BC2+BD2．∴BC⊥BD． 又∵PD⊥底面ABCD．∴PD⊥BC． 又∵PD∩BD=D．∴BC⊥平面PBD． 而BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．…（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PBD， 所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=． 而，所以． ∵底面ABCD为平行四边形，∴DA⊥DB， 分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则A（2，0，0），，，， 所以，，，， 设平面PBC的法向量为， 则即 令b=1则， ∴AP与平面PBC所成角的正弦值为： ．…（12分） 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 22. 已知函数f（x）=．函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值． 参考答案： 【分析】（1）直接求函数f（x）的导函数，化简导函数分子，判断正负即可； （2）可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；     或者构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可． 【解答】解：（1）函数f（x）= ∴f′（x）= [﹣1﹣ln（x+1）]=﹣ [+ln（x+1）]． 由x＞0，x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0． 因此函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数． （2）解法一：当x＞0时，f（x）＞恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]． 又k为正整数．则k的最大值不大于3． 下面证明当k=3时，f（x）＞（x＞0）恒成立． 即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立． 令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x， 则g′（x）=ln（x+1）﹣1． 当x＞e﹣1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e﹣1时，g′（x）＜0． ∴当x=e﹣1时，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0． ∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立． 因此正整数k的最大值为3． 解法二：当x＞0时，f（x）＞恒成立． 即h（x）=＞k对x＞0恒成立． 即h（x）（x＞0）的最小值大于k． 由h′（x）=，记Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．=＞0， ∴Φ（x）在（0，+∞）上连续递增． 又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0， ∴Φ（x）=0存在惟一实根a，且满足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1）， 由x＞a时，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a时，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知： h（x）（x＞0）的最小值为h（a）==a+1∈（3，4）． 因此正整数k的最大值为3． 【点评】本题考查函数的导数在最大值、最小值中的应用，以及函数的导数法研究函数的单调性，同时转化思想是解决此类恒成立问题的“良方”．