2023年安徽省合肥市严桥中学高三数学文月考试卷含解析

2023年安徽省合肥市严桥中学高三数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中，满足对任意当时都有的是（    ）     A.    B.      C.     D. 参考答案： A 略 2. 已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且，则数列{an}的通项公式an为                        （    ）       A．n                         B．n+2                   C．2n－1                   D．2n+1 参考答案： 答案：C 3. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ 　 ） A．海里      B．海里     C． 海里     D．海里 参考答案： A 略 4. 如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（  ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 参考答案： B 【分析】 由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可． 【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点， 其中落入白色部分的有484个点， 则其中落入黑色部分的有605个点， 由随机模拟试验可得：，又， 可得，故选B． 【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解. 5. 在下列直线中，与非零向量垂直的直线是 A.        B.        C.          D. 参考答案： A 略 6. 将“新、安、徽”填入3×3方格中，要求每行、每列都每有重复文字，如右图是一种填法，则不同的填写方法有 A、6种   B、12种     C、24种     D、48种 参考答案： B 7. 已知函数f（x）＝, 那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是 A．（，1）     B．（，）      C．（，）      D．（0，） 参考答案： C 8. 已知△ABC中，，，，P为线段AC上任意一点，则的范围是（   ） A．[1,4]               B．[0,4]              C．[－2,4]           D． 参考答案： D 法1：易求得，取中点，则， 当时，，当在处时， 所以,故选D 法2：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则 ，设 所以,故选D. 9. 已知i是虚数单位，则||=（　　） A．2 B． C． D．1 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解： =， 则||=2． 故选：A． 10. 若函数的图像关于点对称，则函数是（   ）   A.奇函数       B. 偶函数     C. 既是奇函数又是偶函数    D. 非奇非偶函数 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2﹣a5=0，则=　　． 参考答案： 5 【考点】： 等比数列的性质． 【专题】： 计算题． 【分析】： 利用等比数列的通项公式将已知等式8a2﹣a5=0用首项和公比表示，求出公比；再利用等比数列的前n项和定义及通项公式表示，将公比的值代入其中求出值． 解：∵8a2﹣a5=0，∴，q=2， ==1+q2=5 故答案为：5． 【点评】： 解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题，一般利用通项及前n项和公式得到关于基本量的方程，利用基本量法来解决．在等比数列有关于和的问题，依据和的定义，能避免对公比是否为1进行讨论． 12. 若关于的方程有解,则实数的取值范围是      。 参考答案： 13. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和x轴都相切，则该圆的标准方程是_____ 参考答案： 试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程. 14. 设函数的图象为曲线，动点在曲线上，过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合），设线段的长为，则函数单调递增区间       参考答案： 15. 已知正四面体的内切球体积为，则该正四面体的体积为   　． 参考答案： 8   【考点】球的体积和表面积． 【分析】作出正四面体的图形，确定球的球心位置为O，说明OE是内切球的半径，进而求出棱长，可得正四面体的体积． 【解答】解：如图O为正四面体ABCD的内切球的球心， 正四面体的棱长为a， 所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R， 在等边三角形BCD中，BE= a， AE==a． 由OB2=OE2+BE2，即有R2=（a﹣R）2+（a）2 解得，R=a．OE=AE﹣R=a， 由正四面体的内切球体积为， 其内切球的半径是 OE=1， 故a=2， 四面体的体积V==8， 故答案为：8 　 16. 设函数的定义域为，若，使得成立，则称函数为“美丽函数”.下列所给出的五个函数： ①；②；③；④；⑤． 其中是 “美丽函数”的序号有           ． 参考答案： ②③④ 略 17. 若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [﹣1，4] 【考点】函数恒成立问题． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立转化为a2﹣3a≤4 ，求解该不等式得答案． 【解答】解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离， 则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4， 要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则 a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4． ∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]． 故答案为：[﹣1，4]． 【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列满足条件：=0，=-7，且数列()是等差数列. （1）设，求数列的通项公式； （2）求=||+||+…+||的值； （3）数列的最小项是第几项？并求出该项的值. 参考答案： （1）因为是等差数列，，所以首项，，前n项和  . （2）当时，，当n=9时，，当n>9时， 当n<9时， 当n>9时， （3） 由（1）            所以 当n=9或10时，的最小值为-28. 19. （本题满分12分）已知向量，，，其中、、为的内角. (1)求角的大小； (2)若，，成等差数列，且，求的长. 参考答案： (Ⅰ) ………………(2分) 对于，                                       ………………………(4分) 又，     ………………………(6分) (Ⅱ)由， 由正弦定理得                   ………………………(8分) ， 即                 ……………………(10分) 由余弦弦定理 20. 已知数列和满足，若为等比数列，且，． （1）求与； （2）设（），记数列的前项和为，求； 参考答案： 21. （13分）（2009?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，， （Ⅰ）证明PA∥平面BDE； （Ⅱ）证明AC⊥平面PBD； （Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值． 参考答案： 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 分析： （1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE?平面BDE，PA?平面BDE，满足定理所需条件； （2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件； （3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可． 解答： 解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中， 因为AD=CD，且DB平分∠ADC， 所以H为AC的中点，又有题设， E为PC的中点，故EH∥PA， 又HE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE （2）证明：因为PD⊥平面ABCD， AC?平面ABCD，所以PD⊥AC 由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D， 故AC⊥平面PBD （3）由AC⊥平面PBD可知， BH为BC在平面PBD内的射影， 所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角． 由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH= 在Rt△BHC中，tan∠CBH=， 所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为． 点评： 本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力． 22.   某城市计划在如图所示的空地  ABCD上竖一块长方形液晶广  告屏幕MNEF，宣传该城市未来  十年计划、目标等相关政策．已知  四边形ABCD是边长为30米的正方形，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9米，3米，且MN：NE=16：9，线段MN必过点P，端点M、N分别在边AD、AB上，设AN=_x米，液晶广告屏幕MNEF的面积为S平方米． (l)求S关于x的函数关系式及其定义域； (2)若液晶屏每平米造价为1 500元，当x为何值时，液晶广告屏幕MNEF的造价最低？ 参考答案：