2023年广东省广州市象达中学高三数学文下学期期末试题含解析

2023年广东省广州市象达中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知偶函数对任意都有，则的值等于 …………………………………………………………………………………………（    ） A．             B．             C．             D． 参考答案： D 2. 已知||=2||≠0，且关于x的方程x2+||x+?=0有实根，则与的夹角的取值范围是（　　） A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π] 参考答案： B 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】令判别式△≥0可得≤，代入夹角公式得出cos＜＞的范围，从而得出向量夹角的范围． 【解答】解：∵关于x的方程x2+||x+?=0有实根， ∴||2﹣4≥0， ∴≤， ∴cos＜＞=≤=， 又0≤＜＞≤π， ∴＜＞≤π． 故选B． 3.  在的展开式中系数最大的项是（     ） A. 第6项   B. 第6、7项    C. 第4、6项   D. 第5、7项 参考答案： D 4. 角终边经过点（1，-1）， A.1 B.-1 C． D． 参考答案： 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1 【答案解析】C  角终边经过点（1，-1），所以=故选C。 【思路点拨】可直接根据定义确定余弦值 5. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质；圆的切线方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程为x±y=0，根据圆心到切线的距离等于半径得，1=，求出的值，即可得到双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0． 根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1， 可得，1=，∴ =， ，可得e=． 故此双曲线的离心率为：． 故选D． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键． 6. 执行如图所示的程序框图，输出的k值是（　　） 　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 参考答案： B 7. 已知向量，，，则 （A）                   （B）                 （C）20                      （D）40 参考答案： A 略 8. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（   ） A.         B.   C.          D. 参考答案： C 如图所示该几何体为四棱锥P-ABCD，且底面是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=1，其外接球球心O为PC的中点。所以，，故选择C。 9. “”是“ 函数在区间上单调递减”的 A．充分不必要条件     B．必要不充分条件 C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 10. 直三棱柱的每一个顶点都在同一个球面上，若， ，，则、两点间的球面距离为（     ）． A．            B．     C．          D． 参考答案： 答案：B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线与圆的位置关系是            . 参考答案： 相交 12. 若，则=　　． 参考答案： ﹣311   考点： 二项式系数的性质．3804980 专题： 计算题． 分析： 在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311，再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10） ﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1，相乘，即得所求． 解答： 解：∵，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311． 再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1． 两式相乘可得 =﹣311， 故答案为﹣311． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数， 是解题的关键，属于中档题． 13. 已知则的值为         。 参考答案： 36【知识点】对数与对数函数B7 由于，所以f(9-x)=9-=9-x-于是有 f(x)+f(9-x)=9从而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6)=f(4)+f(5)=9,故原式的值为 【思路点拨】根据函数的性质找出规律求出结果。 14. 设向量，，且，则x=________. 参考答案： 1 【分析】 直接利用向量平行的坐标表示求解. 【详解】由题得2x-(x+1)=0, 所以x=1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.   15. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，则此双曲线的离心率为；  又若双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为        ． 参考答案： 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；作图题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由题意，圆C：x2+y2﹣6x+5=0的方程可化为（x﹣3）2+y2=4；从而可得故=；从而求离心率；再由双曲线的焦点到渐近线的距离为2可得b=2；从而求方程． 解答： 解：由题意，圆C：x2+y2﹣6x+5=0的方程可化为 （x﹣3）2+y2=4； 故OC=3，BC=2，OB=； 故=； 故e===； 设双曲线的焦点为（c，0）； 其一条渐近线方程为=0， 即bx+ay=0； 故双曲线的焦点到渐近线的距离d==b=2； 故a=；故此双曲线的方程为； 故答案为：；． 点评：本题考查了双曲线的定义及性质应用，属于基础题． 16. 双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为_________。 参考答案： 17. 在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为　　． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理；GG：同角三角函数间的基本关系． 【分析】由tanA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由sinC及BC的值，利用正弦定理即可求出AB的值． 【解答】解：∵tanA=， ∴cos2A==，又A∈（0，30°）， ∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1， 根据正弦定理得： =， 则AB===． 故答案为： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样. （1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码； （2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差； （3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率． 参考答案： （1）由题意，得抽出号码为22的组数为3.                         （2分） 因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92.                   （4分） （2）这10名学生的平均成绩为： ×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，             （6分） 故样本方差为：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. （8分） （3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法： （73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.                                              （10分） 其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）.                                          （11分） 故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：       （12分） 19. 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程； （2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点在线段AB的垂直平分线上，且，求的值. 参考答案： （1）由，得，再由，得， 由题意可知，，即. 解方程组得，，所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知.设点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为， 于是，两点的坐标满足方程组， 由方程组消去整理，得， 由，得，从而. 设线段的中点为，则的坐标为. 以下分两种情况： （1）当时，点的坐标为.线段的垂直平分线为轴，于是 ，，由，得. （2）当时，线段的垂直平分线方程为. 令，解得. 由，， . 整理得，故，所以. 综上或. 20. 某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]． 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） x：：y 1：1 2：1 3：4 4：5 （1）求图中a的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数； （3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．（分数可以不为整数） 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 【分析】解：（1）由频率分布直方图中小矩形的面积和为1，能求出a． （2）根据频率分布直方图，能估计这100名学生语文成绩的中位数． （3）由这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比的表格，能求出数学成绩在[50，90）外的人数． 【解答】解：（1）由频率分布直方图中小矩形的面积和为1， 得：0.2+0.3+0.4+20a=1， 解得a=0.005． （2）区间[50，70）的概率和为0.05+0.4=0.45， 则区间[70，80）中还需拿出概率0.05的区域才到达概率为0.5， 即区间[70，80]要拿出的区域， 故中位数为． （3）这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示： 分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） x：y 1：1 2：1 3：4 4：5 x 5人 40人 30人 20人