2023年天津付村中学高二数学理期末试题含解析

2023年天津付村中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是     A．              B             C．              D． 参考答案： D 2. 已知点，点在圆：上运动，则直线斜率的取值范围是（   ） A.    B. C.      D. 参考答案： B 3. 已知记，要得到函数的图像，只需要将函数的图像 （　　） A.向左平移个单位长度                            B.向右平移个单位长度  C.向右平移个单位长度                          D.向左平移个单位长度 参考答案： D 略 4. 设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（　　） A． B． C．   D． 参考答案： B 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C， 由排除D， 故选B 【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质．圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握． 　 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　） A．16 B．17 C．14 D．15 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果． 【解答】解：第一次循环：S=log2，n=2； 第二次循环：S=log2+log2，n=3； 第三次循环：S=log2+log2+log2，n=4； … 第n次循环：S=log2+log2+log2+…+log2=log2，n=n+1； 令log2＜﹣3，解得n＞15． ∴输出的结果是n+1=16． 故选：A． 6. 设a，b，c都是正数，则三个数，，（    ） A．都大于2                 B．至少有一个大于2       C．至少有一个不小于2       D．至少有一个不大于2 参考答案： C 由题意 都是正数， 则， 当且仅当时，等号是成立的， 所以中至少有一个不小于，故选C．   7. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E、F、H、K分别为AC1、CB1、A1B、B1C1的中点，G为△ABC的重心，有一动点P在三棱柱的面上移动，使得该棱柱恰有5条棱与平面PEF平行，则以下各点中，在点P的轨迹上的点是  A．H       B．K       C．G         D．B1 参考答案： B 8. 6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 (    ) A. 18 B. 72 C. 36 D. 144 参考答案： D 【分析】 甲、乙、丙三人相邻，用捆绑法分析，把三个元素看做一个元素同其他两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①、甲、乙、丙三人必须站在一起，将三人看做一个元素，考虑其顺序有A33＝6种情况， ②、将这个元素与剩余的三个人进行全排列，有A44＝24种情况， 则不同的排列种数为6×24＝144种； 故选：D． 【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素. 9. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（   ） A．220             B．55              C．100            D．132 参考答案： A 10. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（   ） A. 144种 B. 96种 C. 48种 D. 34种 参考答案： B 试题分析：首先将B，C捆绑在一起作为整体，共有两种，又∵A只能出现在第一步或者最后一步，故总的编排方法为种，故选B． 考点：1．计数原理；2．排列组合． 【思路点睛】对于某些元素要求相邻排列的问题，先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素（同时对相邻元素内部进行自排），再与其它元素进行排列；对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果关于x的不等式的解集是非空集合，则m=      . 参考答案： 36 12. 直线x﹣2y﹣3=0与圆（x﹣2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则弦长EF=　 　． 参考答案： 4 【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系． 【分析】由圆的方程找出圆心与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长． 【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+3）2=9，得到圆心坐标为（2，﹣3），半径r=3， ∵圆心（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3=0的距离d==， ∴弦EF=2=4． 故答案为：4 13. 两个平面可以将空间分成_____________个部分． 参考答案： 3或4 14. 已知直线交抛物线于A、B两点，若该抛物线上存在点C,使得为直角，则的取值范围为___________. 参考答案： 15. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______ 参考答案： 解析：恒成立         ∴设      ∴ ∴    ∴ ∴ 16. 如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则=　　（，，用表示） 参考答案： +﹣ 【考点】空间向量的数乘运算． 【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用． 【分析】由于=， =，，代入化简即可得出． 【解答】解： =， =，， ∴=﹣ =﹣ =+﹣． 故答案为： +﹣． 【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 命题P：，的否定是                     . 参考答案： ?x∈R，x3－x2＋1≤0   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知离心率为的椭圆E：的右焦点为，点F2到直线的距离为1. (1)求椭圆E的方程； (2)设经过左焦点F1的直线与椭圆E相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为.若直线与直线相交于点P，与直线相交于点Q，求的最小值. 参考答案： （1）（2）最小值2 【分析】 （1）由题意得，又由，得，联立方程组解得， 即可求解椭圆的方程； （2）设直线，利用直线与圆锥曲线的弦长公式，求得， 进而化简得，得到，利用基本不等式，即可求解实数的值，得出答案。 【详解】（1）由题意得：，即， 又，得，又因为，所以，即， 联立方程组，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率不为，设直线， 设， 联立，消去得， 此时，且，， 由弦长公式，得， 整理得， 又，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴当，即直线的斜率为时，取得最小值. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。 19. 已知函数，且，． （Ⅰ）求函数的单调区间；                （Ⅱ）求函数的极值． 参考答案： （Ⅰ）由……………1分   又，解得    ………………………3分 所以    ……………………………  4分 令  …………………………5分 …………………………6分 ………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：的变化情况如下表： x 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值0 单调递增 ………………………………10分 , 有极大值，且极大值为   ，有极小值，且极小值为………………………………12分 20. 已知函数，． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，，求． 参考答案： 18解：(Ⅰ)． ……………4分 (Ⅱ) ……………6分 因为，，所以，…………8分 所以， …10分 所以．……………12分   略 21. 已知椭圆的长轴长为4，过点的直线交椭圆于两点，为中点，连接并延长交椭圆于点，记直线和的斜率为分别为和，且. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）当为直角时，求的面积.   参考答案： 解：（Ⅰ）由已知，设直线，联立椭圆方程消去可得： ， 则，即. 设，，，由韦达定理可得：， 点为中点，则，，故， 由得，所以， 故椭圆方程为：. （Ⅱ）直线，联立椭圆方程消去可得： ， 则，点， ∴. ∵为直角，∴，可解得. 故. 22. (本题满分12分) 过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； (2)当点P异于点B时，求证：·为定值． 参考答案： 解：(1)由已知得b＝1，e＝＝，解得a＝2，所以椭圆方程为＋y2＝1 椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－， 所以D点坐标为. 故|CD|＝ ＝. (2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符． 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)． 代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1， y2＝，[来源:学,科,网] 所以D点坐标为. 又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)， 联立解得 因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)． 又P点坐标为. 所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4. 故·为定值．