2023年山西省阳泉市岩会第二中学高三数学理模拟试题含解析

2023年山西省阳泉市岩会第二中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f（x）是奇函数，且方程f（x）=0有且仅有3个实根x1、x2、x3，则x1+x2+x3的值为（　　） 　 A． 0 B． ﹣1 C． 1 D． 无法确定 参考答案： A 考点： 奇偶函数图象的对称性． 专题： 常规题型． 分析： 首先根据f（x）是奇函数，分析一个根为零，另外两个根互为相反数．然后即可求出x1+x2+x3的值． 解答： 解：∵f（x）是奇函数， ∴f（x）一定过原点 ∵方程f（x）=0有且仅有3个实根x1、x2、x3∴其中一个根为0，不妨设x2=0 ∵f（x）是奇函数 ∴方程的两个根关于原点对称，即x1+x3=0 ∴x1+x2+x3=0 故答案为：A 点评： 本题考查奇偶函数图象的性质问题，通过分析奇偶函数的性质求出3个根的关系．本题属于基础题． 2. 函数：①y=x?sinx②y=x?cosx③y=x?|cosx|④y=x?2x的图象（部）如图所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（　　） 　 A．④①②③ B． ①④③② C． ①④②③ D． ③④②① 参考答案： 考点： 正弦函数的图象；余弦函数的图象． 分析： 依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可． 解答： 解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象 ②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断． 故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③ 故选C． 点评： 本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置． 3. 已知ω＞0，将函数f（x）=cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用诱导公式化简和同名函数，根据三角函数平移变换规律，建立关系．即可求ω的最小值． 【解答】解：由函数f（x）=cosωx=sin（ωx）图象向右平移个单位后得到：sin（）， 由题意可得：，（k∈Z） 解得：， ∵ω＞0， ∴当k=0时，ω的值最小值为． 故选A 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 4. 将函数后得到函数 A．          B．            C．          D． 参考答案： B 5. 设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是 A.          B.         C.     D.     参考答案： D 略 6. 复数z满足，则 A.2i      B.2      C.i      D.1 参考答案： D 7. 已知命题，命题，则( 　  ) A.命题是假命题      B.命题是真命题 C.命题是真命题   D.命题是假命题 参考答案： 8. 函数f（x）=ex+x2﹣2在区间（﹣2，1）内零点的个数为（　　） 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 参考答案： B 考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用． 分析： 由已知中函数的解析式，求出导函数f'（x）的解析式，和导函数的导函数f''（x）的解析式，分析f''（x）的符号，求出f'（x）的单调性，进而分析f'（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（﹣2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案． 解答： 解：∵f（x）=ex+x2﹣2 得f'（x）=ex+2x f''（x）=ex+2＞0 从而f'（x）是增函数， f'（﹣2）=﹣4＜0 f'（0）=1＞0 从而f'（x）在（﹣2，1）内有唯一零点x0，满足 则在区间（﹣2，x0）上，有f'（x）＜0，f（x）是减函数， 在区间（x0，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数． 因为f（﹣2）=+2＞0，f（x0）＜f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0 从而f（x）在（﹣2，1）上有两个零点． 故选B 点评： 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要二次求导，难度中档． 9. 一个多面体的三视图分别是正方形．等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为9            （    ）       A．             B．             C．            D． 参考答案： A 略 10. “a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的(***). A.充分而不必要条件                     B.必要而不充分条件 C.充要条件                             D.既不充分也不必要条件 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若角满足条件，，则角是第      象限角．      参考答案： 二  ．      12. 若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则       . 参考答案： 略 13. 已知平面向量，，且，则的值为         参考答案： 1 14. 设数列中，，，则通项 =           。 参考答案： 15. 关于的方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为_    ▲     ． 参考答案： 16. 点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是　    　． 参考答案： 2 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值． 【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x， 所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为， 所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为， 所以△OPQ面积的最小值为． 故答案为2． 17. 设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是       参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数满足2+，对x≠0恒成立，在数列{an}、{bn}中，a1=1，b1=1，对任意x∈N+，，。 （1）求函数解析式； （2）求数列{an}、{bn}的通项公式； （3）若对任意实数,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立，求k的最小值。 参考答案： （1） （2）    （3）3 解：（1），∴，联立解得 （2）∵，∴， ∴是以1为首项、2为公差的等差数列，，∴ 又 ，  相加有，∴ （3）对任意实数λ∈[0，1]时，恒成立， 则恒成立，变形为，恒成立。 设， ∴， ∴    ∴或，n∈N+  故kmin=3 19. 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边， （1）求C； （2）若，且△ABC面积为，求的值． 参考答案： （1）∵2sinsin（+C）+cosC=﹣， ∴﹣sin（+C）+cosC=﹣， ∴﹣cosC﹣sinC+cosC=﹣， ∴sinC﹣cosC=， ∴sin（C﹣）=，∴C=； （2）∵c=，且△ABC面积为3， ∴13=a2+b2﹣ab， =3， ∴a=3，b=4或a=4，b=3， ∵2R==， ∴sinA+sinB=7×=． 20. 在中，角的对边分别为，面积为，已知. (1)求证：； (2)若，，求. 参考答案： (1)由条件：， 由于：，所以：， 即：. (2)，所以：. ，. 又：， 由， 所以：，所以：. 21. 已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1， （1）求异面直线AC，DE所成的角； （2）求二面角A﹣CE﹣D的大小； （3）设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥平面ACE？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】空间角；空间向量及应用． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角的余弦值，再求异面直线所成的角； （2）先求出两个平面的法向量，再利用向量坐标运算求二面角的余弦值，可求得二面角； （3）假设在平面ABE内存在点H，设H（m，0，n），=（m，﹣，n﹣），再根据PH⊥平面ACE，确定m、n的值，根据的坐标表示确定H的位置． 【解答】解：（1）建立空间直角坐标系如图： ∵AB=AE=1，四边形ABCD为正方形，∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）． =（1，1，0），=（0，﹣1，1）， cos==﹣， 故异面直线AC，DE所成的角为； （2）取DE的中点P，则P（0，，），连接AP，∵直线AE⊥平面ABCD，∴AE⊥CD，又四边形ABCD为正方形，CD⊥AD， ∴AP⊥平面CDE，∴为平面CDE的法向量； ∵BD⊥AC，AE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴为平面ACE的法向量， =（0，，），=（﹣1，1，0）， cos==． 故二面角A﹣CE﹣D为． （3）假设在平面ABE内存在点H，设H（m，0，n），=（m，﹣，n﹣）， ∵PH⊥平面ACE，AC?平面ACE， ∴PH⊥AC，PH⊥AE，∴ =m﹣=0?m=； =n﹣?n=， 即H（，0，），∵=，H为B、E的中点． 故存在点H，H为B、E的中点，满足条件． 【点评】本题考查利用向量坐标运算，求异面直线所成的角，求二面角，解决存在性问题，解题的关键合理建立空间直角坐标系． 22. 已知椭圆 经过点其离心率为.    （Ⅰ）求椭圆的方程； (Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围. 参考答案： 解:(Ⅰ)由已知可得,所以     ①    又点在椭圆上,所以                ② 由①②解之,得.                                故椭圆的方程为.       (Ⅱ) 当时,在椭圆上,解得,所以. 当时,则由     消化简整理得:,     ③   设点的坐标分别为,则 .        由于点在椭圆上,所以 .       从而,化简得,经检验满足③式.    又                       因为,得,有, 故.                     综上,所求的取值范围是.     (Ⅱ)另解:设点的坐标分别为, 由在椭圆上,可得     ①—②整理得  由已知