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2022-2023学年河北省廊坊市尖塔逸夫中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,若,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,2) B.(2,+∞) C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣2,2)
参考答案:
D
【考点】偶函数.
【专题】压轴题.
【分析】偶函数图象关于y轴对称,所以只需求出(﹣∞,0]内的范围,再根据对称性写出解集.
【解答】解:当x∈(﹣∞,0]时f(x)<0则x∈(﹣2,0].
又∵偶函数关于y轴对称.
∴f(x)<0的解集为(﹣2,2),
故选D.
【点评】本题考查了偶函数的图象特征.在解决函数性质问题时要善于使用数形结合的思想.
3. 已知公比不为1的等比数列{an}满足,若,则m=( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
参考答案:
B
【分析】
根据等比数列的性质可求得,从而求得结果.
【详解】由等比数列性质得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查等比数列性质的应用,属于基础题.
4. 已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N1?,则b的取值范围是 ( )
A.[-,] B.(-,) C.(-,] D.[-,]
参考答案:
A
解:点(0,b)在椭圆内或椭圆上,T2b2≤3,Tb∈[-,].选A.
5. (01全国卷理)函数的反函数是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
答案:A
6. 已知a,b∈R,若a﹣bi=(1+i)i3(其中为虚数单位),则( )
A.
a=1,b=﹣1
B.
a=﹣1,b=1
C.
a=1,b=1
D.
a=﹣1,b=﹣1
参考答案:
A
考点:
复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件.. ks5u
专题:
计算题.ks5u
分析:
先对(1+i)i3进行化简,再由复数相等求出a和b的值.
解答:
解:由题意得,a﹣bi=(1+i)i3=﹣i(1+i)=﹣i﹣i2=1﹣i,
则a=1,b=﹣1,
故选A.
点评:
本题考查了复数的乘法运算,以及复数相等的充要条件应用,属于基础题.
7. 已知函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】指数函数的图像变换;函数的零点与方程根的关系.
【专题】数形结合;转化思想.
【分析】根据题意,易得(x﹣a)(x﹣b)=0的两根为a、b,又由函数零点与方程的根的关系,可得f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的零点就是a、b,观察f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区间(﹣∞,﹣1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<﹣1,0<a<1;根据函数图象变化的规律可得g(x)=aX+b的单调性即与y轴交点的位置,分析选项可得答案.
【解答】解:由二次方程的解法易得(x﹣a)(x﹣b)=0的两根为a、b;
根据函数零点与方程的根的关系,可得f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的零点就是a、b,即函数图象与x轴交点的横坐标;
观察f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区间(﹣∞,﹣1)与(0,1)上,
又由a>b,可得b<﹣1,0<a<1;
在函数g(x)=ax+b可得,由0<a<1可得其是减函数,
又由b<﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方;
分析选项可得A符合这两点,BCD均不满足;
故选A.
【点评】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质;解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围.
8. 若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则( )
A. i B. -i C. 1 D. -1
参考答案:
B
【分析】
利用已知求得,再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解。
【详解】,复数在复平面内的对应点关于虚轴对称,
,
故选:B
【点睛】本题主要考查了复数的对称关系,还考查了复数的除法、乘法运算,属于基础题。
9. 已知函数,,当x=a时,取得最小值b,则函数的图象为
参考答案:
B
10. (2011宁夏)已知与均为单位向量,其夹角为,有下列四个命题:
:;:;
:;:。
其中的真命题是( )
A., B., C., D.,
参考答案:
A
(1),
∵,∴,因此是真命题。
(2),
∵,∴,因此是真命题。综上所述,选择A。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔15000 m,速度为1000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为15°,经过108s后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为 km.
参考答案:
15﹣10
【考点】解三角形的实际应用.
【分析】先求AB的长,在△ABC中,可求BC的长,进而由于CD⊥AD,所以CD=BCsin∠CBD,故可得山顶的海拔高度.
【解答】解:如图,∠A=15°,∠ACB=60°,
AB=1000×108×=30(km )
∴在△ABC中,BC=20sin15°
∵CD⊥AD,
∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin75°=20sin15°sin75°=10
山顶的海拔高度=(15﹣10)km.
故答案为15﹣10.
12. 在△ABC中,若,则的大小为________________;
参考答案:
略
13. 设等差数列的前项和为,则,,,成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前项积为,则, , ,成等比数列.
参考答案:
14. 已知点P(x,y)的坐标满足条件,那么(x+1)2+y2的取值范围为 .
参考答案:
(,8]
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;综合法;不等式.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,设P(x,y)、M(﹣1,0),可得(x+1)2+y2=|QP|2表示M、P两点距离的平方,因此运动点P并加以观察得到|MP|的最大、最小值,即可得到(x+1)2+y2的取值范围.
【解答】解:画出表示的平面区域如图:
,
而(x+1)2+y2的表示区域内点P(x,y)与点M(﹣1,0)的距离的平方,
由图知:|MC|2=(1+1)2+22=8最大;
M到直线2x+y﹣2=0的距离的平方:
最小.
由于2x+y﹣2>0不取等号,
所以不是最小值,
故答案为:(,8].
【点评】本题给出二元一次不等式组,求(x+1)2+y2的取值范围,着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中档题.
15. 为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查,根据下图提供的信息,可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 ▲ 万只.
参考答案:
略
16. 已知P,Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P点的纵坐标为,Q点的横坐标为,则cos∠POQ= .
参考答案:
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值,利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和 sin∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )的值.
【解答】解:由题意可得,sin∠xOP=,∴cos∠xOP=;
再根据cos∠xOQ=,可得sin∠xOQ=.
∴cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos∠xOP?cos∠xOQ﹣sin∠xOP?sin∠xOQ==﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系,同角三角函数的基本关系,两角和的余弦公式的应用,属于基础题.
17. 已知函数,若不等式|f(x)|﹣mx+2≥0恒成立,则实数m的取值范围为 .
参考答案:
[﹣3﹣2,0]
【考点】绝对值三角不等式.
【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题,然后数形结合即可求得最终结果.
【解答】解:不等式即:mx≤|f(x)|+2恒成立,
绘制函数|f(x)|+2的图象,则正比例函数y=mx恒在函数|f(x)|+2的图象下方,
考查函数:y=x2﹣3x+2 经过坐标原点的切线,
易求得切线的斜率为,
据此可得:实数m的取值范围为.
故答案为:.
【点评】本题考查了分段函数的应用,数形结合的数学思想等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数)
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m0时,由f′(x)>0得x>1,由f′(x)<0得00得01……………………………….5分
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).…………..7分
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx……………….8分
由(2)可得,当x在区间内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
1
(1,e)
e
f′(x)
-
0
+
f(x)
2-
单调递减
极小值1
单调递增
2
又2-<2,所以函数f(x)(x∈)的值域为[1,2].…………………11分
据此可得,若相对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)都有公共点;
并且对每一个t∈(-∞,m)∪(M,+∞),直线y=t与曲线y=f(x)都没有公共点.
综上,当a=1时,存在最小的实数m=1,最大的实数M=2,使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)都有公共点.………………….14分
19. 在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数
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