2023年北京怀柔县杨宋中学高一数学理联考试卷含解析

2023年北京怀柔县杨宋中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）已知球的表面积为8π，则它的半径为（） A． B． 1 C． D． 2 参考答案： C 考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由球的表面积的计算公式能求出这个球的半径． 解答： 解：设这个球的半径这R，则 ∵一个球的表面积为8π， ∴4πR2=8π， 解得R=， 故选：C． 点评： 本题考查球的表面积公式，解题的关键是记清球的表面积公式． 2. 已知定义域在上的奇函数是减函数,且,则的取值范围是(    ) A．(2,3)       B．(3,)   C．(2,4)   D．(－2,3) 参考答案： D 略 3. 将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（    ） A．y＝cos2x＋sin2x  B．y＝cos2x－sin2x    C．y＝sin2x－cos2x  D．y＝cosxsinx 参考答案： B 略 4. 已知集合，若，则等于 A．             B．              C．或　       D．或 参考答案： D 略 5. 若函数的图象过两点和，则(    ) A．      B．      C．     D． 参考答案： A 略 6. 已知中，分别为的对边，，则为（    ） A．等腰三角形  B．直角三角形   C．等腰直角三角形   D．等腰或直角三角形 参考答案： D 7. 化简 =（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义． 【分析】根据向量加法的混合运算及其几何意义即可求出． 【解答】解： =（ +）﹣（+）=﹣=， 故选：D 8. 已知向量，满足||=1， =（1，），且⊥（+），则与的夹角为（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 参考答案： C 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】由题意可得||，由垂直可得?（+）=0，由数量积的运算代入数据可得夹角的余弦值，可得夹角． 【解答】解：设与的夹角为α， ∵||=1， =（1，）， ∴||==2， 又⊥（+），∴?（+）=0， ∴=12+1×2cosα=0， 解得cosα=，∴α=120° 故选：C 9. 定义新运算“&”与“”：，，则函数  是（   ） A、奇函数   B、偶函数     C、非奇非偶函数     D、既是奇函数又是偶函数 参考答案： D 略 10. 在中，边上的中线长为3，且，，则边长为（    ） A．                   B．               C．               D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为            参考答案： 12. 球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的　　倍． 参考答案： 8 略 13. 已知直线l过点P（﹣2，﹣2），且与以A（﹣1，1），B（3，0）为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是　　． 参考答案： [，3] 【考点】直线的斜率． 【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆． 【分析】先根据A，B，P的坐标分别求得直线AP和BP的斜率，结合图象，最后综合可得答案． 【解答】解：直线AP的斜率K==3， 直线BP的斜率K′== 由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]， 故答案为：[，3]， 【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题． 14. 设函数是定义在R上的偶函数，且对任意的∈R恒有，已知：当时，，则     ①2是函数的周期；     ②函数在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；     ③函数的最大值是1，最小值是0；     ④当∈[3，4]时，.     其中所有正确命题的序号是                . 参考答案： ①②④ 略 15. 定义在R上的偶函数满足：对任意的（），有，且，则不等式的解集是          ．   参考答案： (－∞,－2)∪(0,2) 由题意：在区间（﹣∞，0]上，f（x）是减函数，又是偶函数， 则在区间（0，+∞）上，f（x） 是增函数． 由 ＜0? ＜0， 则 或 ，又f（2）=0， 所以 或， ?x＜﹣2或0＜x＜2． 故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）， 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．   16. 对于定义域为R的函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y 0 2 3 2 0 ﹣1 0 2 则f（f（f（0）））=　  　． 参考答案： 2 【考点】函数的值． 【分析】推导出f（0）=3，从而f（f（0））=f（3）=﹣1，进而f（f（f（0）））=f（﹣1），由此能求出结果． 【解答】解：由题意： f（0）=3， f（f（0））=f（3）=﹣1， ∴f（f（f（0）））=f（﹣1）=2． 故答案为：2． 　 17. 在数列{an}中，，且对于任意自然数n，都有，则______． 参考答案： 7 【分析】 利用递推关系由累加可求. 【详解】根据题意，数列{}中，，则， 则； 故答案为：7 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知函数对任意实数x、y都有=·，且，，当时，0≤＜1． （1）求及的值； （2）判断的奇偶性； （3）判断在[0，＋∞上的单调性，并给出证明； （4）若且≤，求的取值范围． 参考答案： 解：⑴=0  ……………1分 ∵=9，又=·=··= []， ∴9 = []，∴=，……………3分 ⑵令y =－1，则=·， ∵=1，∴= ，且 所以为偶函数．……………6分 ⑶若x≥0，则==·=[]≥0．……………7分 若存在，则，矛盾， 所以当时，……………8分 设0≤x＜x，则0≤＜1，∴==·，……………9分 ∵当x≥0时≥0，且当0≤x＜1时，0≤＜1． ∴0≤＜1，∴＜，故函数在[0，＋∞上是增函数．………11分 （4）∵≤，∴≤，……………12分 ∵a≥0，(a＋1)，3[0，＋∞，函数在[0，＋∞上是增函数． ∴a＋1≤3，即a≤2，   ……………13分 又a≥0，故0≤a≤2．……………14分 19. （1）已知函数f（x）=，判断函数的奇偶性，并加以证明． （2）是否存在a使f（x）=为R上的奇函数，并说明理由． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的判断． 【分析】（1）可看出f（x）的定义域为R，并容易得出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）为奇函数； （2）f（x）为R上的奇函数时，一定有f（0）=0，这样即可求出a的值，从而判断出存在a使得f（x）为R上的奇函数． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且； ∴f（x）为奇函数； （2）f（x）为R上的奇函数； ∴； ∴； 即存在a=使f（x）为R上的奇函数． 【点评】考查奇函数的定义，根据函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的方法和过程，以及奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0． 20. 已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}． （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）． 参考答案： 【分析】（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可； （2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得； 【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根， 则，∴a=1，b=2． （2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0， 所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}； 当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}； 当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}． 【点评】该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键． 　 21. （本题10分）已知函数且; （1）求a的值   （2）判断的奇偶性 （3）函数在上是增函数还是减函数？并证明。 参考答案： 略 22. (本题满分10分) 已知全集，集合, (1)求； (2)若集合，且，求实数a的取值范围． 参考答案： 解： (1)    ……………………………………………2分 ……………………………………………………3分 ………………………………………………………5分 （2）①当时，即，所以，此时 满足题意  ………………………………………………………………7分 ②当时，，即时， 所以，解得：……………………………………………9分 综上，实数a的取值范围是…………………………………………………10分