2022-2023学年湖南省怀化市江东中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省怀化市江东中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，那么的值为（    ） A．      B．       C．       D． 参考答案： B 2. 函数在上单调递增，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 参考答案： D ∵ ∴令，即 ∵在上单调递增 ∴且 ∴ 故选D.   3. 如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A、   B、      C、96      D、80 参考答案： A 略 4. 已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值． 【解答】解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2， 则a2=3，即双曲线方程为， 设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1， 则=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣， 因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 5. 已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为 A．          B．         C．           D． 参考答案： A 略 6. 设集合，则（   ） A.    B.     C.          D. 参考答案： C 略 7. 已知=（1，2），=（0，1），=（k，﹣2），若（+2）⊥，则k=（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 参考答案： C 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】由向量的坐标运算易得的坐标，进而由可得它们的数量积为0，可得关于k的方程，解之可得答案． 【解答】解：∵=（1，2），=（0，1）， ∴=（1，4）， 又因为， 所以=k﹣8=0， 解得k=8， 故选C 8. 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为3的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出向上的点数之差的绝对值为3包含的基本事件个数，由此能求出向上的点数之差的绝对值为3的概率． 【解答】解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数， 基本事件总数n=6×6=36， 向上的点数之差的绝对值为3包含的基本事件有： （1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），共6个， ∴向上的点数之差的绝对值为3的概率p=． 故选：A． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 A. 28π  B.32π      C. π     D. π 参考答案： C 10. 已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 参考答案： A 【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质． 【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案． 【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1， 所以a3=a1+2d，a4=a1+3d． 因为a1、a3、a4成等比数列， 所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d． 所以==2， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数且）与曲线（为参数）的交点坐标是             . Ks5u 参考答案： （1,2） 略 12. 已知a∈[0，6]，使得函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出使得函数f（x）的定义域是R的a的范围，根据区间长度的比值求出满足条件的概率的值即可． 【解答】解：若f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域为R， 则函数g（x）=ax2﹣ax+1＞0恒成立， a=0时，显然成立， a≠0时，只需， 解得：0＜a＜4， 综上，a∈[0，4）， 故满足条件的概率p==， 故答案为：． 【点评】本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查几何概型问题，是一道中档题． 　 13. 等差数列中，其前项和，若，则的值为___________. 参考答案： 3 略 14. 实数，满足，若的最大值为，则实数的值是          ． 参考答案： 15. 在菱形中，,为中点，则          ．   参考答案： 16. 已知点，椭圆与直线交于点、，则的周长为__________ 参考答案： 8 17. ．在钝角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则△ABC的面积等于___________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知平面四边形MNPQ中，MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM． （Ⅰ）若PQ＝，求NQ的值； （Ⅱ）若∠MQN＝30°，求sin∠QMP的值． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）由题意可得∠QMN＝150，根据余弦定即可求出， （Ⅱ）∠QMP＝θ，由题意可得QM，∠MNQ，在△MNQ中，由正弦定理结合三角恒等变换整理可得tanθ，再根据同角三角函数的基本关系，即可求出 【详解】解：（Ⅰ）如图：∵MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM， ∴PQ＝＝， ∴sin∠QMP＝＝， ∴∠QMP＝60°， ∴QM＝PM＝， ∴∠QMN＝150°， 由余弦定理可得NQ2＝QM2+MN2﹣2MN?QM?cos∠QMN＝+3﹣2×××（﹣）＝， ∴NQ＝， （2）：∵MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM 设∠QMP＝θ，由题意可得QM＝cosθ，∠MNQ＝60°﹣θ， 在△MNQ中，由正弦定理可得＝， 即＝2， 整理可得tanθ＝， ∵sin2θ+cos2θ＝1， ∴sinθ＝， 故sin∠QMP＝． 【点睛】 本题考查了三角函数的化简和求值，以及正弦定理余弦定理的应用. 19. 已知直线与椭圆交于、两点,以为直径的圆过椭圆的右顶点.   (Ⅰ)设中点,；        (Ⅱ)求椭圆方程. 参考答案： 解析：(Ⅰ)设直线与椭圆交于,,右顶点.         将代入中,整理得.         于是.    ∵为中点,         ∴,故.     (Ⅱ)依题意：,则.又,         ∴,整理得,.         由⑴⑵代入得,, ∴.         ∵,∴,故a=,故所求椭圆方程为. 20. 已知椭圆的离心率是. （1）求椭圆C的方程； （2）已知F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，直线F1A，F1B分别交y轴于不同的两点M、N.如果为锐角，求k的取值范围. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）由题意，列出方程组，求得，即可得到椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量 【详解】（1）由题意，椭圆的离心率是， 可得解得，所以椭圆的方程为. （2）由已知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，直线与椭圆的交点为，. 由得. 由已知，判别式恒成立，且，.① 直线的方程为，令，则. 同理可得. 所以 将①代入并化简，得 . 依题意，角为锐角，所以，即. 解得或. 综上，直线的斜率的取值范围是. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21. 空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如下： 空气污染指数 （单位：μg/m3） [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] 监测点个数 15 40 y 10 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图； （2）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？ 参考答案： 【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图； （2）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：（1）∵，∴x=100． ∵15+40+y+10=100，∴y=35.，，， 频率分布直方图如图所示： （2）在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点，设空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a，b，c，d；空气污染指数为150～200的1个监测点记为E，从中任取2个的基本事件分别为（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（b，c），（b，d），（b，E），（c，d），（c，E），（d，E）共10种，其中事件A“两个都为良”包含的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，所以事件A“两个都为良”发生的概率是． 22. （12分）如图，已知正三棱柱各棱长都为，为棱上的动点。 （Ⅰ）试确定的值，使得； （Ⅱ）若，求二面角的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点到面的距离。 参考答案： 解析：【法一】（Ⅰ）当时，作在上的射影. 连结. 则平面，∴，∴是的中点，又，∴也是的中点， 即.  反之