2023年广东省江门市岭背中学高三数学文联考试题含解析

2023年广东省江门市岭背中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数，若方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．[0，+∞） 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】数形结合；函数的性质及应用． 【分析】由题知f（x）为分段函数，当x＜0时，由f（x）=f（x+1）可知f（x）为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=﹣x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=﹣x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围． 【解答】解：函数的图象如图所示， 作出直线l：y=a﹣x，向左平移直线l观察可得函数y=f（x） 的图象与函数y=﹣x+a的图象有两个交点， 即方程f（x）=﹣x+a有且只有两个不相等的实数根， 即有a＜1， 故选：C． 【点评】本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想． 2. 已知，则条件“”是条件“”的（  ）条件. A．充分不必要条件         B．必要不充分条件       C．充分必要条件           D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 3. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差  D．极差 参考答案： A 由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。   4. （文）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列结论错误的是 （     ） A．和均为的最大值.                B．； C．公差；                            D．； 参考答案： D 由，，可知，且，所以，所以和均为的最大值. 所以A,B,C都正确，选D. 5. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱平面AB1C1，且为等边三角形，，则直线AB与平面所成角的正切值为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 6. 已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数 ＝的图象的一条对称轴是直线（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： D 试题分析：由已知，所以， ，令得时，，故选． 考点：1．三角函数的图象性质；2．和差倍半的三角函数． 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的（    ） A．       B．       C．        D．1 参考答案： C 8. 已知函数（，）,其图像与直线相邻两个交点的距离为π,若对于任意的恒成立, 则的取值范围是（   ） A.           B.           C.          D. 参考答案： D 9. 如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A1、A2分别为其左右顶点，过坐标原点且斜率为k（k≠0）的直线交双曲线C于P1、P2，则A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为(     ) A．8 B．2 C．6 D．4 参考答案： D 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设点，利用斜率公式，结合离心率为，即可得出结论． 解答： 解：设P1（x，y），P2（m，n），则 A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为= =， ∵离心率为， ∴=， ∴=2， ∴=4， ∴A1P1、A1P2、A2P1、A2P2这四条直线的斜率乘积为4， 故选：D． 点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 10. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为16，则判断框内可填入的条件是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】程序运行的S=1××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件． 【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=1××…×， ∵输出的k=16， ∴S=1××…×=， ∴判断框的条件是S＜． 故选D． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若直线为函数图像的切线，则 参考答案： 4 12. .如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是  ▲   . 参考答案：    略 13. 函数在上是减函数，则实数a的取值范围是          参考答案： a≤-3 略 14. 设函数，则“为奇函数”是“”的           条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 参考答案： 略 15. 为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于100cm的株数是__________. . 参考答案： 【知识点】用样本估计总体I2 【答案解析】7000  由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3， 则底部周长大于100cm的段的频率为1-0.3=0.7 那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人． 故答案为7000． 【思路点拨】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可． 16. 设数列的前项和为，（），则使得（）恒成立的的最大值为          . 参考答案： 【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【试题分析】因为，所以，所以 ,,因为恒成立，所以即解得，又，所以，故答案为. 17. 已知函数，若，则实数的取值范围是            ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 向量q=（，1），p=（， ）且．求： （1）求sin A的值；  （2）求三角函数式的取值范围． 参考答案： （1）∵，∴，根据正弦定理，得，  又，， ，，又；      （2）原式， ，                      ∵，且 ∴，∴， ∴，∴的值域是 19. （15分）已知数列{an}满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）． （Ⅰ）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足 bn=，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式得到数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，即可求出通项公式，再代值计算即可， （Ⅱ）先求出bn，再根据前n项和公式得到|Tn|，利用放缩法即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）数列{an}满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1， ∴， 即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列， ∴（n∈N*）． ∴S1=，S2=； （Ⅱ）在数列{bn}中，， Tn为{bn}的前n项和， 则|Tn|=|=． 而当n≥2时， ， 即． 【点评】本题考查数列的通项及不等式的证明，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 20. 某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：   A组 B组 C组 疫苗有效 疫苗无效 若在全体样本中随机抽取个，恰好抽到B组疫苗有效的概率是。 （Ⅰ）求的值； （II）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在C组抽取多少个？ （III）若疫苗有效的概率小于，则认为测试没有通过，已知，求这种新流感疫苗不能通过测试的概率。 参考答案： .（I）由题意，在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33，所以抽到B组疫苗有效的样本数为2000×0.33=660，即x=660。……3分 （II）A组样本共有750个，B组样本共有750个，故C组样本共有500个，由360×，故应在C组抽取90个…………6分 （III）设测试不能通过的事件为M，C组疫苗可能的情况为（y,z）。由，所以样本空间包含的基本事件有： （465，35），（466，34），（467，33），（468，32），（469，31），（470，30）共6个。 若这种新流感疫苗不能通过测试，则>10%，即z>33，故事件M包含的基本事件有（465，35），（466，34）共2个。所以。所以该流感疫苗不能通过测试的概率为………………12分 略 21. （本题满分13分）已知椭圆：（）的焦距为，且过点（，），右焦点为．设，是上的两个动点，线段的中点的横坐标为，线段的中垂线交椭圆于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围． 参考答案： （Ⅰ） 因为焦距为，所以．因为椭圆过点（，）， 所以．故，… 2分 所以椭圆的方程为 …………4分 （Ⅱ） 由题意，当直线AB垂直于轴时，直线AB方程为，此时、 ，得．……… 5分 当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为()， ()， ， 由 得，则， 故．                   ………………………………………… 6分 此时，直线斜率为， 的直线方程为． 即． 联立 消去 ，整理得． 设 ， 所以，． ……………………………9分 于是 ．…… 11分 由于在椭圆的内部，故 令，，则．   …………… 12分 又，所以． 综上，的取值范围为．         …………………… 13分 22. 已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，设，求数列的前n项和. 参考答案： 解（1）由题意知   ………………1分 当时， 当时， 两式相减得………………3分 整理得：  ……………………4分 ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列. ……………………5分 （2） ∴，……………………6分 ① ② ①-②得  ………………9分                       .………………………………………………………11分 …………………………………………………………………12分   略