2022-2023学年江苏省连云港市海州实验中学高三数学理月考试卷含解析

2022-2023学年江苏省连云港市海州实验中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列的前项和为，公差为，若，则的值为（   ） A．                       B．                       C．10                       D．20 参考答案： B 试题分析：由等差数列前项和公式得．故选B. 考点：1、等差数列的性质；2、等差数列前项和公式. 2. 下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是         （    ）     参考答案： 答案：C 3. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) A．    B．  C． D． 参考答案： D 4. 已知集合，则 A．     B．     C．     D．     参考答案： A 5. 下列图形中，不是三棱柱展开图的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题. 6. 已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R）则z的虚部为（ ） A．－1         B．1       C．i       D．－i 参考答案： B 因为 ,所以 ,z的虚部为1,选B   7. 执行右边的程序框图，若，则输出的（   ） . .          .     . 参考答案： B ，因此输出故选B 8. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣2为奇函数，则不等式f（x）＜2ex的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，e2） D．（e2，+∞） 参考答案： B 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集． 【解答】解：由题意令g（x）=， 则g′（x）=， ∵f（x）＞f′（x）， ∴g′（x）＜0， 即g（x）在R上是单调递减函数， ∵y=f（x）﹣2为奇函数， ∴f（0）﹣2=0，即f（0）=2，g（0）=2， 则不等式f（x）＜2ex等价为＜2=g（0）， 即g（x）＜g（0）， 解得x＞0， ∴不等式的解集为（0，+∞）， 故选：B． 　 9. 过双曲线﹣=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是(     ) A．（1，） B．（1，+1） C．（+1，） D．（，） 参考答案： D 考点：双曲线的简单性质． 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先确定双曲线的渐近线斜率2＜＜3，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围． 解答： 解：由题意可得双曲线的渐近线斜率的范围为：2＜＜3， ∵===， ∴＜e＜， ∴双曲线离心率的取值范围为（，）． 故选D． 点评：本题考查双曲线的性质：渐近线方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是运用离心率公式和渐近线斜率间的关系，属于中档题． 10. 某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（　　） A． B． C． D．1 参考答案： D 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论． 【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形， 此时V=×1×1×2=， 1＞， 故该几何体的体积不可能是1， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 执行右图所示的程序框图，输入p＝2012，q＝9，则输出p＝＿＿＿ 参考答案： 12. 从甲、乙、丙、丁四人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率为_______. 参考答案： 13. 如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是　．   参考答案： 3　 略 14. 已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则        __________ 参考答案： 略 15. 抛物线关于直线对称的抛物线方程是　   　      　． 参考答案： 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若a2﹣c2=bc，sinB=2sinC，则角A=　　． 参考答案： 考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 先利用正弦定理化简sinB=2sinC得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得 a2=7c2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值． 解答： 解：由sinB=2sinC及正弦定理可得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得 a2=7c2 ， 再由余弦定理可得 cosA===， ∵0＜A＜π ∴A=． 故答案为：． 点评： 本题主要考查了正弦、余弦定理，及特殊角的三角函数值化简求值，属于中档题． 17. （5分）命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： [﹣3，0] 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 计算题；综合题． 分析： 命题中的不等式含有字母参数，首先考虑a=0，发现此时显然命题是真命题．再看当a≠0时，若要原命题为真命题，必须相应的二次函数图象开口向下且与x轴不相交，由此可列出关于a的不等式组，解之即得a的取值范围．最后综上所述，得到正确答案． 解答： 解：命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，即对于任意的x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3＞0都不成立 ①当a=0时，不等式为﹣3＞0，显然不成立，符合题意； ②当a≠0时，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3在R上恒小于或等于0 ∴，解之得﹣3≤a＜0 综上所述，得实数a的取值范围是﹣3≤a≤0 故答案为：[﹣3，0] 点评： 本题以命题真假的判断为载体，着重考查了含有字母参数的不等式恒成立的知识点，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数上的最大值与最小值之和为20，记。 （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 参考答案： 【知识点】函数的单调性与最值B3 【答案解析】（1）a=4（2）1（3） （1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调， ∴a+a2=20，得a=4，或a=-5（舍去）； （2）由（1）知f(x)= ， ∴f(x)+f(1-x)= +=+=+ =+=1； （3）由（2）知f（x）+f（1-x）=1，得n为奇数时，f()+f()+…+f()=×1=； n为偶数时，f()+f()+…+f()=×1+f（）= +=； 综上，f()+f()+…+f()=． 【思路点拨】（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得； （3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求； 19. 如图，四棱锥中，平面平面,， . (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值 . 参考答案： (1) 如图，连接交于点，，即为等腰三角形，又平分，故，因为平面底面，平面底面平面，因平面，所以 (2)作于点，则底面，以为坐标原点的方向分别为 轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，而，得，又，故. 由，得，故，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，因此可取. 由，得，因此可取,从而法向量的夹角的余弦值为 .由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为. 本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1) 连接交于点，证明，由面面垂直的性质定理可得平面，则结论易得；(2) 作于点，则底面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式求解即可. 20. （本小题满分14分）设函数. （1）若函数在处有极值，求函数的最大值； （2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； ②证明：不等式 参考答案： （1）最大值为；（2）①的取值范围是；②证明见解析．   ， 不等式的左边，由，则有．这里用到了不等式的放缩法． 当时，单调递减 所以函数的最大值为 （2）①由已知得： （）若，则时， 所以在上为减函数 在上恒成立； （）若，则时， 所以在上为增函数 ，不能使在上恒成立； （）若，则时， 当时， 所以在上为增函数， 此时 又 故 . 考点：用导数研究函数的极值、单调性、最值，不等式恒成立问题，用函数证明不等式． 21. 如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD, ,,AB∥CD，，∠DAB=60°，AB=AD=4． （Ⅰ）求四棱锥E-ABCD的体积； （Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD； （Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直． 参考答案： （I）（II）见解析（III）见解析 【分析】 （Ⅰ）取AD中点N，连接EN．可得EN⊥AD．由平面ADE⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质可得EN⊥平面ABCD．再由已知求得梯形ABCD得面积，代入棱锥体积公式求解；（Ⅱ）由AB∥CD，得CD∥平面ABFE．进一步得到CD∥EF．再由线面平行的判定可得EF∥平面ABCD；（Ⅲ）连接MN，假设EM⊥AM．结合（Ⅰ）利用反证法证明EM与AM不垂直． 【详解】（Ⅰ）取AD中点，连接． 在中，， 所以. 因为平面平面， 平面平面， 平面ADE, 所以平面． 又因为，，所以. 因为∥，，， 所以. 所以.  （Ⅱ）因为∥，平面，平面， 所以∥平面． 又因为平面，平面平面， 所以∥． 因为平面，平面， 所以∥平面． （Ⅲ）连接，假设. 由（Ⅰ）知平面， 因为平面,所以． 因为, 且，                        所以平面． 因为平面， 所以． 在△中，， 所以. 所以． 这与矛盾． 所以假设不成立，即与不垂直． 【点睛】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题． 22. 设函数= （Ⅰ）证明：2； （Ⅱ）若，求的取值范围. 参考答案：