2023年山东省济宁市济东中学高三数学文联考试题含解析

2023年山东省济宁市济东中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设向量，且，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】9J：平面向量的坐标运算． 【分析】利用平面向量运算法则求出=（x﹣1，3），再由，能求出x的值． 【解答】解：∵向量， ∴=（x﹣1，3）， ∵， ∴=x﹣1﹣3=0， 解得x=4． 故选：D． 2. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数且单调递增，则不等式f（x）＜f（x2）的解集是（　　） A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，1） 参考答案： A 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据题意，由函数的单调性分析可得若f（x）＜f（x2），则有x＜x2，解可得x的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且单调递增， 若f（x）＜f（x2），则有x＜x2， 解可得x＜0或x＞1， 即其解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）； 故选：A． 3. 已知集合，，则A∩B=（    ） A．{1,3,5}         B．{－1,1,3,5}       C．[－1,5]       D．(－2,6) 参考答案： B 因为集合，所以，故选B. 4. 已知数列为等差数列，且，则=（    ） A.        B.    C.      D. 参考答案： A    5. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（　　） A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形 C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形 参考答案： B 【考点】三角形的形状判断． 【分析】设BC的中点为 D，由条件可得?2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形． 【解答】解：设BC的中点为 D，∵，∴?（2﹣2）=0， ∴?2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线． 故△ABC是以BC为底边的等腰三角形， 故选 B． 6. 若复数z=，则=（    ） A．1 B．－1 C．i D．－i 参考答案： C 7. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ D ） A.       B.     C.     D. 参考答案： D 略 8. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（      ）                              A．向右平移个单位长度      B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度      D．向左平移个单位长度 参考答案： A 略 9. 运行如右程序框图，若输入的，则输出s取值为（   ） A.  B. C.  D. 参考答案： C 由程序框图可知，该程序表示分段函数， ， 当时，解析式化为， ， 当时，，， 综上所述，的取值范围是，故选C.   10. 在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含有项的系数是（   ） A．35 B．－35 C．－56 D．56 参考答案： C 第五项的二项式系数最大，则，通项为，令，故系数是.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点（sin，an+）在直线l：y=﹣x++2上，则数列{an}的前30项的和为　　． 参考答案： 59 【考点】数列与解析几何的综合． 【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；三角函数的求值． 【分析】把点（sin，an+）代入直线l，得an=2﹣sin，由sin的取值是1，0，﹣1，0的循环，能求出数列{an}的前30项和． 【解答】解：点（sin，an+）在直线l：y=﹣x++2上， ∴an=2﹣sin， sin的最小正周期为4，取值是1，0，﹣1，0的循环， ∴数列{an}的前30项和： S30=30×2﹣ [7（1+0﹣1+0）+1+0]=59． 故答案为：59． 【点评】本题考查数列的前30项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用． 12. 设为锐角，若   ▲  . 参考答案： 13. 函数f（x）=（2x﹣1）+sin（2x﹣1）的图象的一个对称中心的坐标是　　．（只需要写出一个对称中心的坐标） 参考答案： （，0） 【考点】正弦函数的图象． 【分析】令2x﹣1=t，将原函数转化为g（t）=t+sint，根据g（t）的奇偶性得出对称中心． 【解答】解：令2x﹣1=t，则f（x）=g（t）=t+sint， ∴g（﹣t）=﹣t+sin（﹣t）=﹣t﹣sint=﹣g（t）， ∴g（t）是奇函数，g（t）关于（0，0）对称， 令t=2x﹣1=0，解得x=． ∴f（x）的一个对称中心为（，0）． 故答案为：（，0）． 14.  若点（5，b）在两条平行直线6x－8y+1=0与3x－4y+5=0之间， 则整数b的值为                  参考答案： 4 15. 已知点,为坐标原点,动点满足,则点所构成的平面区域的面积是__________． 参考答案： 4   16. 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 参考答案： 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。 又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。 ∴不等式可化为　　log2(x2+5x+4)≥2   　　　　　　① 或　　　　　　　　log2(x2+5x+4)≤－2             ② 由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0               ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得 ≤x＜－4或－1＜x≤            ④ 由③④得原不等式的解集为 {x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。 略 17. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为　      　． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果． 【解答】解：连接DE，设AD=2 易知AD∥BC， ∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角， 在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3 ∴cos∠DAE==， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC． （1）求证：AC⊥BB1； （2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC⊥BB1． （2）过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值． 【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC， ∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B， ∴AC⊥平面A1ABB1， ∵BB1?平面A1ABB1，∴AC⊥BB1． 解：（2）过点A作AY∥A1B， ∵A1B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC， 又AB⊥AC，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系， 由AB=AC=A1B=2，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2）， 由，得B1（4，0，2），C1（2，2，2），M为B1C1的中点， M（3，1，2），， 设平在ABM的法向量=（x，y，z）， 则，取y=2，得平面ABM的法向量， ，平面ABA1的法向量， ∴， 设二面角M﹣AB﹣A1的平面角为θ，由图知θ锐角， ∴二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值为． 19.     已知向量，，函数    （Ⅰ）求的单调递增区间；    （Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，， 若，且，求的值． 参考答案： 解：（Ⅰ）         （3分） 由 ，  得                      （5分） 所以的单调增区间是     （6分）    （2）       是三角形内角，∴ 即：                （7分） ∴  即：．                （9分） ，∴ 代入可得：，解之得： ∴,                                 （11分） ,∴，．                               （12分） 略 20. 已知函数的图象（部分）如图所示．    （1）试确定的解析式；    （2）若，求函数的值域． 参考答案： 略 21. 已知函数. （Ⅰ）若函数为偶函数，求的值； （Ⅱ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅲ）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）任取，则有恒成立， 即恒成立 恒成立，恒成立 （特殊值法求出酌情给分）…………………3分 （Ⅱ）当时， 由函数的图像可知，函数的单调递增区间为。………………6分 （Ⅲ）不等式化为 即：（*）      对任意的恒成立………………7分 因为，所以分如下情况讨论： ①当时，不等式（*）化为恒成立 即 ………………9分 ②当时，不等式（*）化为恒成立 即 由①知，      ………………12分 ③当时，不等式（*）化为恒成立 即 由②得: ………………14分 综上所述，的取值范围是：  ………………15分 22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点．  （Ⅰ）证明 平面EDB；                  （Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值． 参考答案： （Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE,∵O是AC中点， 又E是PC中点 ∴ OE∥AP                                ………3分 又OE面BDE，AP面BDE                ………5分 ∴AP∥面BDE                                  ………6分    （Ⅱ）令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF ∴EF∥PD，又PD⊥面ABCD ∴EF⊥面ABCD                                 ………8分 ∴∠EBF为面BE与面ABCD所成的角。 令PD=CD=2a 则CD=EF=a, BF=                ………10分 在Rt⊿BEF中， 故BE与面ABCD所成角的正切是。            ………12分