2022-2023学年广西壮族自治区桂林市中峰育才中学高二数学文联考试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区桂林市中峰育才中学高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，则的虚部为(     ) A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： A 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：由已知中复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数，根据其虚部不为0，实部为0，可以构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，再由复数除法的运算法则，将复数化为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到的虚部． 解答： 解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是纯虚数， ∴a2﹣1=0，且a+1≠0 故a=1 则Z=2i ∴==﹣i 故的虚部为 故选A 点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据已知条件，构造关于a的方程组，解方程求出a值，进而可得，是解答本题的关键． 2. 函数的定义域为（   ） A.        B.        C.      D. 参考答案： C 略 3. 已知函数f（x）＝lnx＋tanα（α∈（0，））的导函数为，若使得＝成立的＜1，则实数α的取值范围为（    ） A．（，）   B．（0，）       C．（，）      D．（0，） 参考答案： A 4. 已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（　　） A．f′（x）＞0，g′（x）＞0 B．f′（x）＞0，g′（x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（x）＜0 参考答案： B 【考点】3L：函数奇偶性的性质；62：导数的几何意义． 【分析】由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案． 【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， 知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数． 又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0， 知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数 由奇、偶函数的性质知， 在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数 则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0． 故选B 【点评】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握． 5. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于                                                （   ）     A、        B、          C、       D、   参考答案： A 6. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（   ）        （A）120个       （B）80个       （C）40个        （D）20个 参考答案： C 7. 参考答案： C 8. 函数在区间上的最大值是（ 　　） A、 B、 C、 D、 参考答案： A 略 9. 某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（   ） A. 　 　　           B. 　 　　       C. 　 　　   D．1 参考答案： C 　用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个． 10. 在空间直角坐标系中，已知点则=（  ） A．          B．            C．           D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在正方体中，P为对角线的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有_____________（个）. 参考答案： 略 12. 已知随机变量X服从二项分布X～，那么方差的值为          ． 参考答案： ∵随机变量X服从二项分布，那么， 即.   13. 设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是　   　，三角形OMF的面积是　   　． 参考答案： 2, 3. 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用抛物线的性质，推出M的横坐标；然后求解三角形的面积． 【解答】解：F为抛物线y2=12x的焦点（3，0）（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点， |MF|=5，设M的横坐标为x，可得|MF|=x﹣（﹣3），可得x=2； 纵坐标为：y==． 三角形OMF的面积是： =3． 故答案为：； 14. 不等式的解集是                . 参考答案： 15. 圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C的方程为   ． 参考答案： 16. 若，则           。 参考答案： 2 略 17. .对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点关联函数”.若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为                ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）在等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）从数列中依次取出,构成一个新的数列,求的前n项和. 参考答案： （1）设公差为d，由题意，可得 ，解得，所以………………6分 （2）记数列的前n项和为，由题意可知    所以                    ……………………………12分 19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角B； （2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用． 【分析】（1）根据向量数量积的运算公式，结合三角恒等变换公式化简整理，得，再由0＜B＜π，解此方程可得角B的大小； （2）根据余弦定理，建立关于a、c的方程并化简得4=a2+c2﹣ac，而a、b、c成等差数列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，从而得到△ABC是等边三角形，由此不难得到△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵向量，，且， ∴， 化简得，可得，…（5分） 又0＜B＜π，得， ∴，解之得…（7分） （2）∵a，b，c成等差数列，b=2，∴a+c=2b=4． 又∵b2=a2+c2﹣2ac?cosB， ∴，即4=a2+c2﹣ac…（10分） 将a+c=4代入，得a2﹣4a+4=0，得a=2， 从而c=2，三角形为等边三角形．…（12分） 因此，△ABC的面积．…（14分） 【点评】本题给出向量含有三角函数式的坐标，在已知数量积的情况下求△ABC中角B的大小，并依此求△ABC的面积．着重考查了三角恒等变换公式、向量的数量积坐标公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题． 20. 有两个投资项目、，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万元） （1）分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x（万元）的函数关系式； （2）现将万元投资A项目, 10-x万元投资B项目.h(x)表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和.求h(x)的最大值,并指出x为何值时,h(x)取得最大值. 参考答案： 解：（1）投资为万元，A项目的利润为万元，B项目的利润为万元。 由题设 由图知 又 从而    （2） 令 当 答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为万元. 略 21. （本小题满分12分）已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F。 （1）求证：⊥平面EBD； （2）求点A到平面的距离； （3）求平面与直线DE所成角的正弦值。 参考答案： （1）证：以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），，， 设，则：  ＝0，，， ，又平面EBD。 ……4分 （2）连接到平面的距离，即三棱锥的高，设为h， ，由 得：，∴点A到平面的距离是。……8分 （3）连接DF，⊥⊥⊥平面是DE在平面上的射影，∠EDF是DE与平面所成的角，设，那么 ①  ∥  ②  由①、②得， 在Rt△FDE中，。∴sin∠EDF＝，因此，DE与平面所成的角的正弦值是 ………12分 22. 在极坐标系中，极点为0，已知曲线与曲线交于不同的两点AB.求： (1)的值； (2)过点且与直线AB平行的直线l的极坐标方程． 参考答案： （1）；（2）. 试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值． （2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程 试题解析： （1）∵，∴， 又∵，可得,∴， 圆心(0,0)到直线的距离为 ∴． （2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为， ∴直线的极坐标为，即．