2022-2023学年湖北省荆州市沙市第五中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖北省荆州市沙市第五中学高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知,且,则下列不等式成立的是 A、     B、  C、     D、 参考答案： D 2. 三点(,2)、(5,1)、(-4,2)在同一条直线上，则的值为（   ） A. 2            B.            C. -2或          D. 2或 参考答案： D 3. 已知，则“”是“恒成立”的（   ） A．充分不必要条件          B．必要不充分条件  C．充要条件                   D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 4. 已知角的终边与单位圆相交于点，则 （A）         （B）         （C）         （D） 参考答案： 【知识点】三角函数的定义 【答案解析】D解析：解：，所以选D. 【思路点拨】一般知道角的终边位置求角的三角函数值，可用定义法解答. 5. 以下叙述正确的是（       ） A 平面直角坐标系下的每条直线一定有倾斜角与法向量，但是不一定都有斜率； B 平面上到两个定点的距离之和为同一个常数的轨迹一定是椭圆； C 直线上有且仅有三个点到圆的距离为2； D 点是圆上的任意一点，动点分（为坐标原点）的比为，那么的轨迹是有可能是椭圆. 参考答案： A 6. 若a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．d＜a＜c＜b B．a＜c＜b＜d C．a＜d＜b＜c D．a＜d＜c＜b 参考答案： A 【考点】不等式比较大小． 【分析】由已知中a＜b，d＜c，并且（c﹣a）（c﹣b）＜0，（d﹣a）（d﹣b）＞0，结合同号两数积为正，异号两数积为负，可得答案． 【解答】解：∵a＜b，（c﹣a）（c﹣b）＜0， ∴a＜c＜b， ∵（d﹣a）（d﹣b）＞0， ∴d＜a＜b，或a＜b＜d， 又∵d＜c， ∴d＜a＜b， 综上可得：d＜a＜c＜b， 故选：A 7. 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是 （A）     （B）       （C）     （D） 参考答案： D 8. 数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（    ） A.    　　　B. C.    　 　　 D.   参考答案： A 9. 已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有　　　（    ） A.　0条         B.　1条        C.　2条        D.　无数条 参考答案： D 10. 点（-1，2）关于直线y =x -1的对称点的坐标是 （A）（3，2）    （B）（-3，-2）  （C）（-3，2）   （D）（3，-2） 参考答案： D 因为解：设对称点的坐标为（a，b），由题意可知， 解得a=3，b=-2，所以点（-1，2）关于直线 y=x-1的对称点的坐标是（3，-2） 故选D   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列满足，且， 则当时，               . 参考答案： 12. 已知P(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是    ． 参考答案： x+2y8=0 13. 若双曲线上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为　　　　　　． 参考答案： 9 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，求得|PF2|=1或9，讨论P在左支和右支上，求出最小值，即可判断P的位置，进而得到所求距离． 解答： 解：双曲线=1的a=2，b=2，c==4， 设左右焦点为F1，F2． 则有双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=4， 由于|PF1|=5，则有|PF2|=1或9， 若P在右支上，则有|PF2|≥c﹣a=2， 若P在左支上，则|PF2|≥c+a=6， 故|PF2|=1舍去； 由于|PF1|=5＜c+a=6， 则有P在左支上，则|PF2|=9． 故答案为：9 点评： 本题考查双曲线的方程和定义，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题． 14. 如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）=　　． 参考答案： 【考点】CM：条件概率与独立事件． 【分析】阴影部分由函数y=x与围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x与围成，其面积为（﹣x）dx=（）=， A表示事件“点P恰好取自曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，面积为+=， 则P（B|A）等于=． 故答案为． 【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积． 15. 抛物线x2+y=0的焦点坐标为　　． 参考答案： （0，﹣） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 x2=﹣2py 的焦点坐标为（0，﹣），求出抛物线x2+y=0的焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=， =， ∴焦点坐标是 （0，﹣）， 故答案为：（0，﹣）． 16. 函数的定义域为             参考答案： 17. 若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；若有一个交点，则的取值范围是________；若有两个交点，则的取值范围是_______； 参考答案： ；；   解析： 曲线代表半圆 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)椭圆:的两个焦点为，,点在椭圆上，且 （Ⅰ）求椭圆的方程 ;  （Ⅱ）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程. 参考答案： (Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=, 从而b2=a2－c2=4,   所以椭圆C的方程为＝1. --------4分    因为A，B关于点M对称.    所以[解得，--------10分    所以直线l的方程为    即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) --------12分 19. 已知函数，（其中实数）。 （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任意的，总存在，使得，求a的最小值。 参考答案： 解：（Ⅰ）∵， 1分 当时，对的单调递减区间为；  2分 当时，令，得。 ∵时，时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为， 3分 综上所述，时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为。 4分 （Ⅱ）用分别表示函数在上的最大值，最小值。 ∵对任意的，总存在，使得，等价于对任意的，，又∵， ∴问题等价于。 当且时，由（Ⅰ）知，在上，是减函数，， ∵对任意的， ∴对任意的，不存在，使得。 5分 当时，由（Ⅰ）知：在上，是增函数，在上，是减函数， ， ∵对， ， ∴对，不存在，使得， 6分 当时，由（Ⅰ）知：在上，是增函数， ， ，满足题意。 7分 综上所述，实数a的最小值为e。 8分 20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方． （1）求椭圆E的方程； （2）若BC⊥CD，求k的值； （3）记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由已知点的坐标结合向量等式求得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求； （2）写出CD所在直线方程，得到BC所在直线方程联立求得C的坐标，代入椭圆方程即可求得k值； （3）联立直线方程和椭圆方程，求得C、D的横坐标的和与积，代入斜率公式可得k1k2为定值． 【解答】（1）解：∵A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=， ∴3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2． 又∵=，∴c=，则b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆E的方程为+y2=1； （2）解：CD的方程为y=k（x+1）， ∵BC⊥CD，∴BC的方程为y=﹣（x﹣2）， 联立方程组，可得点C的坐标为（，）， 代入椭圆方程，得， 解得k=±2． 又∵点C在x轴上方，＞0，则k＞0， ∴k=2； （3）证明：∵直线CD的方程为y=k（x+1）， 联立，消去y得：（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 则x1+x2=﹣，x1x2=， k1k2== ===﹣， ∴k1k2为定值． 21. 已知数列满足：且.（1)求数列的前三项；（2）是否存在一个实数，使数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）求数列的前项和. 参考答案： 解：（1） （2） ， 时，成等差数列 (3) 令 则 本题第（1）问，直接根据条件，取n=1，2，3，代入即可求解； 第（2）问，先假设其存在，然后根据等差数列对应的相邻两项的差为常数即可求出λ的值； 第（3）问，先根据条件求出数列{an}的通项公式，再借助于分组求和以及错位相减求和即可求出结论． 22. 给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题． 【分析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围． 【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立?a=0或?0≤a＜4；（2分） 关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根?△=1﹣4a≥0?a≤；…（4分） p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，… 如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞ ∴＜a＜4；…（6分） 如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤ ∴a＜0…（7分） 所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）． …（8分） 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．