2023年山东省青岛市第四十七中学高一数学文期末试卷含解析

2023年山东省青岛市第四十七中学高一数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （3）已知圆的方程是，则点P（1，2）满足(      ) A、是圆心      B、在圆上       C、在圆内        D、在圆外 参考答案： C 略 2. 已知集合，则能使成立的实数的取值范围是 A.     B.    C.       D. 参考答案： C 3. 下列各角中，与60°角终边相同的角是（　　） A．﹣300°B．﹣60°C．600°D．1380° 参考答案： A 【考点】终边相同的角． 【分析】与60°终边相同的角一定可以写成 k×360°+60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件． 【解答】解：与60°终边相同的角一定可以写成 k×360°+60°的形式，k∈z， 令k=﹣1 可得，﹣300°与60°终边相同， 故选：A． 4. 已知是的三条边，成等差数列，也成等差数列，则的形状是      ▲     ． 参考答案： 等边三角形 略 5. 若，，则=         (   )                                A.             B.          C.         D. 参考答案： C 6. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得=，实数x为（　　） A．﹣2 B．0 C． D． 参考答案： A 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求x的值． 【解答】解：∵x2+2x+=， ∴x2+2x+﹣=， ∴=﹣x2﹣（2x﹣1）； 又A、B、C三点共线， ∴﹣x2﹣（2x﹣1）=1， 解得x=0或x=﹣2； 当x=0时， =不满足题意， ∴实数x为﹣2． 故选：A． 7. 已知函数，则的最小值是（     ） A．0                     　       B． 　C．1                     　       D．不存在 参考答案： B 略 8. 函数　则的值为 A．  B．  　     C．  　     D．18 参考答案： C 略 9. 已知函数那么的值为（ ） A． B． C． D． 参考答案： A 10. 在中，是边上的中点，则向量 A.      B.     C.        D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是      . 参考答案： 12. 设动直线与函数和的图象分别交于、 两点，则的最大值为____. 参考答案： 3 略 13. 不等式(2+1)()0的解集是____________________________. 参考答案： 14. 函数f（x）=ax﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点　　． 参考答案： （1，3） 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】根据所有的指数函数过（0，1）点，函数f（x）=ax﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3，得到函数的图象过（1，3） 【解答】解：根据指数函数过（0，1）点， ∴函数f（x）=ax﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3 ∴函数的图象过（1，3） 故答案为：（1，3）． 15. 设无穷数列  的各项都是正数,  是它的前  项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于  与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 _______. 参考答案： 解析：由题意知 ， 即 .          ……… ① 由  得 , 从而 . 又由 ① 式得       ,            ……… ② 于是有          , 整理得 . 因 , 故 ． 所以数列  是以  为首项、 为公差的等差数列，其通项公式为 ， 即 . 故N*)． 16. 函数是定义在上的增函数，其中且，已知无零点，设函数，则对于有以下四个说法： ①定义域是；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增. 其中正确的有____________（填入你认为正确的所有序号）k&s#5u 参考答案： ①② 略 17. 若，则_________. 参考答案： 【分析】 利用诱导公式求解即可 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题考查诱导公式，是基础题   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个凸n边形的n个内角的度数成等差数列，公差是5°，最小内角为120°，求该多边形的边数n及最大内角的度数. 参考答案： ， 【分析】 设这是个边形，因为最小的角等于，公差等于，则个外角的度数依次是60， 55，50，，，由于任意多边形的外角和都等于，由此可以建立方程求出这是几边形．再求出最大内角的度数. 【详解】设这是个边形，因为最小的角等于，公差等于， 则个外角的度数依次是60，55，50，，， 由于任意多边形的外角和都等于，所以， ， 或，经检验不符合题意，舍去， 所以，这是个9边形．最大的内角为. 【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意任意多边形的外角和都等于360度的应用． 19. 已知=（2sin（x+），），=（cos（x+），2cos2（x+）），且0≤θ≤π，f（x）=?﹣，且f（x）为偶函数． （1）求θ；       （2）求满足f（x）=1，x∈[﹣π，π]的x的集合． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】（1）利用平面向量的数量积化简f（x），由f（x）是偶函数，且0≤θ≤π求出θ的值； （2）由（1）得f（x）的解析式，f（x）=1时，求出x∈[﹣π，π]时，x的取值即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=?﹣ =2sin（x+）cos（x+）+×2cos2（x+）﹣ =sin（2x+θ）+（cos（2x+θ）+1）﹣ =2sin（2x+θ+）， 且f（x）为偶函数，0≤θ≤π； ∴θ+=， 解得θ=； （2）∵f（x）=2sin（2x++）=2cos2x， 当f（x）=1时，2cos2x=1，∴cos2x=； ∴2x=±+2kπ，k∈Z， ∴x=±+kπ，k∈Z； ∴在x∈[﹣π，π]时，x的取值是﹣π，﹣，，； ∴x∈{﹣，﹣，， }． 【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，是综合题． 20. 已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求： （Ⅰ）A∩B；                 （Ⅱ）（?UA）∩B． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】求出A中不等式的解集，确定出集合A， （Ⅰ）找出A与B的公共部分，即可求出两集合的交集； （Ⅱ）由全集U=R，找出不属于A的部分，确定出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合． 【解答】解：A={x|2x﹣4＜0}={x|x＜2}，B={x|0＜x＜5}， （Ⅰ）A∩B={x|0＜x＜2} （Ⅱ）∵A={x|x＜2}，全集U=R， ∴CUA={x|x≥2}， 则（CUA）∩B={x|2≤x＜5}． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键． 21. 一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y （1）列出所有可能结果． （2）求事件A=“取出球的号码之和小于4”的概率． （3）求事件B=“编号X＜Y”的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）用列举法求得所有可能的结果共有 16个． （2）用列举法求得事件“取出球的号码之和小于4”包含的结果有3个，由此求得“取出球的号码之和小于4”的概率． （3）用列举法求得事件B=“编号X＜Y”包含的结果有 6个，由此求得事件B=“编号X＜Y”的概率． 【解答】解：（1）所有可能的结果共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、 （3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共计16个． （2）事件“取出球的号码之和小于4”包含的结果有（1，1）、（1，2）、（2，1），共计3个， 故“取出球的号码之和小于4”的概率为． （3）事件B=“编号X＜Y”包含的结果有 （1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4），共计6个， 故事件B=“编号X＜Y”的概率为=． 　 22. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，首项，且，正项数列{bn}满足，. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记，是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？若存在，求正整数k的最小值，若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）；（2）见解析 【分析】 （1）先设等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比，即可得出的通项公式；再由累乘法求出，根据题中条件求出，代入验证，即可得出的通项公式； （2）先由（1）化简，根据，求出的最大值，进而可得出结果. 【详解】解：（1）设等比数列的公比为， 由，得， 又，则， 所以. ，由，得 ，，…，， 以上各式相乘得：，所以. 在中，分别令，，得，满足. 因此. （2）由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， 令，得， ∴，解得， ∴当时，，即. ∵当时，，， ∴，即. 此时，即， ∴的最大值为. 若存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，则， ∴正整数的最小值为4. 【点睛】本题主要考差数列的综合应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，会求数列中的最大项即可，属于常考题型.