2022-2023学年辽宁省沈阳市第一私立中学高二数学文期末试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第一私立中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合,则的子集的个数（   ） A.2   B.4     C.5      D.7 参考答案： B 略 2. 设函数，. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A.         B.       C.      D.[ 参考答案： A 略 3. 若,则下列不等式:①;②;③④ 中，正确的不等式有（     ）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 4. 若 , 则下列正确的是（     ） A．          B．          C．        D． 参考答案： D 略 5. 复数等于（ ）       A．        B．           C．1              D． 参考答案： B 略 6. 三名医生和六名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配一名医生和二名护士，不同的分配方法共                       (  ) A  90         B  180        C  270       D  540   参考答案： D 略 7. 已知则的最小值是 (     ) A．3            B．4               C．         D． 参考答案： B 略 8. 已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（　　） 参考答案： D 　 A． P（k）对k=2013成立 B． P（k）对每一个自然数k成立 　 C． P（k）对每一个正偶数k成立 D． P（k）对某些偶数可能不成立   考点： 进行简单的合情推理．3804980 专题： 概率与统计． 分析： 由于命题p（k），这里k=2n（n∈N*），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立，故可得结论． 解答： 解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N*），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立， 而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立 故p（k）对于k=2013不一定成立，对于某些偶数可能成立，对于每一个偶数k不一定成立，对于每一个自然数k不一定成立． 故选D． 点评： 本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，考查学生的推理能力，属于中档题． 9. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（      ） A． B． C． D． 参考答案： A 10. 已知抛物线 y2＝2px(p＞0) 上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为 参考答案： D 利用抛物线的定义解题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知绕原点逆时针旋转变换矩阵为，则其旋转角θ（θ∈上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　    　． 参考答案： 【考点】CF：几何概型． 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求． 【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3． 圆心到直线y=kx的距离为， 要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜． ∴在区间上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=． 故答案为：． 12. 函数y=x3﹣2x2﹣4x+2的单调递增区间是　    　． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】对函数y=x3﹣2x2﹣4x+2进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，即可得到答案． 【解答】解：∵y=x3﹣2x2﹣4x+2∴y'=3x2﹣4x﹣4 令3x2﹣4x﹣4＞0，得到x＞2或x＜﹣ 故答案为： 13. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的 X的值为2，则输出的结果是______. 参考答案： -3 14. 等差数列中，，，且，为其前项之和，则（   ） A．都小于零，都大于零 B．都小于零，都大于零 C．都小于零，都大于零 D．都小于零，都大于零 参考答案： C 略 15. 函数的值域为   ▲   ． 参考答案： (3,2018] 由题可得： 故答案为.   16. 直线被曲线所截得的弦长为____． 参考答案： 略 17. 设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则?（+）的取值范围为　　． 参考答案： [﹣，2] 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），讨论P在AB，BC，CA上，分别设P的坐标，可得向量PA，PB，PC的坐标，由向量的坐标表示，化为二次函数在闭区间上的最值问题，即可得到所求取值范围． 【解答】解：以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 可得A（﹣1，0），B（1，0），C（0，）， 当P在线段AB上，设P（t，0），（﹣1≤t≤1）， =（﹣1﹣t，0），=（1﹣t，0），=（﹣t，）， 即有?（+）=（﹣1﹣t，0）?（1﹣2t，） =（﹣1﹣t）（1﹣2t）+0×=2t2+t﹣1=2（t﹣）2﹣， 由﹣1≤t≤1可得t=取得最小值﹣，t=﹣1时，取得最大值0； 当P在线段CB上，设P（m，（1﹣m）），（0≤m≤1）， =（﹣1﹣m，（m﹣1）），=（1﹣m，（m﹣1）），=（﹣m， m）， 即有?（+）=（﹣1﹣m，（m﹣1））?（1﹣2m，（2m﹣1）） =（﹣1﹣m）（1﹣2m）+（m﹣1）×（2m﹣1）=2（2m﹣1）2， 由0≤m≤1可得m=取得最小值0，m=0或1时，取得最大值2； 当P在线段AC上，设P（n，（1+n）），（﹣1≤n≤0）， =（﹣1﹣n，﹣（1+n）），=（1﹣n，﹣（1+n）），=（﹣n，﹣ n）， 即有?（+）=（﹣1﹣n，﹣（1+n））?（1﹣2n，﹣（1+2n）） =（﹣1﹣n）（1﹣2n）+（1+n）×（1+2n）=8n2+10n+2=8（n+）2﹣， 由﹣1≤n≤0可得n=﹣取得最小值﹣，n=0时，取得最大值2； 综上可得?（+）的取值范围是[﹣，2]． 故答案为：[﹣，2]． 【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，同时考查分类讨论和转化思想，转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解题的关键，属于中档题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列，，点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）若 参考答案：   略 19. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.设M点极坐标为，且，，. （Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）①求M点的直角坐标； ②若直线l与曲线C交于A，B两点，求. 参考答案： （Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①② 【分析】 （Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答. 【详解】解（Ⅰ）， 曲线 （Ⅱ）①，，. ②将代入，得， ，， . 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 20. (12分)抛物线在第一象限内与直线相切。此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。求使S达到最大值的a，b值，并求。 参考答案： 解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为，所以（1） 又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点 由方程组 得，其判别式必须为0，即 于是，代入（1）式得： 令；在时得唯一零点，且当时，；当时，。故在时，取得极大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且 略 21. （本题满分13分）已知直线与圆没有公共点.不等式对于任意恒成立.若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围. 参考答案： 对于圆的方程可化为其圆心为半径为.故 故或.                                  3分 对于分离得对恒成立，由在上单调递增知道.                                                                    6分 进一步分析条件知和一真一假，即或    10分 解得或 所求的取值范围是或    .                          13分 22. 根据下列条件求曲线的标准方程： （1）准线方程为的抛物线； （2）焦点在x轴上，且过点（2，0）、的双曲线． 参考答案： 【考点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程． 【分析】（1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），准线方程为，所以有，故p=3，即可求出抛物线方程； （2）设所求双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），代入点的坐标，求出a，b，即可求出双曲线方程． 【解答】解：（1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0）． 其准线方程为，所以有，故p=3． 因此抛物线的标准方程为 y2=6x． （2）设所求双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0）， 因为点（2，0），在双曲线上，所以点的坐标满足方程， 由此得，解得，    所求双曲线的方程为．