2023年山东省泰安市宁阳第六中学高二数学理期末试卷含解析

2023年山东省泰安市宁阳第六中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 把5名师范大学生安排到一、二、三3个不同的班级实习，要求每班至少有一名且甲必须安排在一班，则所有不同的安排种数有 A.24             B.36              C.48              D.50 参考答案： D 2. 已知不等式的解集为，则不等式的解为（  ） A.                 B.  C.                D. 参考答案： A 略 3. 圆绕直线旋转一周所得的几何体的体积为（    ） A.       B.          C．       D. 参考答案： C 略 4.  设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ） A．椭圆           B．线段           C．不存在         D．椭圆或线段 参考答案： D 5. 下列曲线中离心率为的是                               （   ） （A）           （B） （C）           （D） 参考答案： B 略 6. 已知圆C：（x+3）2 +y2=100和点B(3,0),P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（    ）。 A. .               B.                                       C.             D.                                                               参考答案： B 略 7. 对于小于55的自然数，积（55-n）（56-n）……（68-n）(69-n)等于 A．A B. A  C. A     D. A 参考答案： B 8. 若为圆的弦的中点，则直线的方程 A.   B.   C.     D. 参考答案： B 9. 在数列中，则的值为（　　） A.　 49　　　　　　B.  50   　　　　　C. 51      　 　  D.52     参考答案： D 略 10. 准线为的抛物线的标准方程为 （A）   （B）  （C）  （D） 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，则它能用到10000小时的概率是　　． 参考答案： 【考点】条件概率与独立事件． 【专题】概率与统计． 【分析】直接利用条件概率的计算公式，运算求得结果． 【解答】解：由于使用6000小时的概率是，能使用10000小时的概率是， 则在已经使用了6000小时的情况下，还能继续使用到10000小时的概率为=． 故答案为： 【点评】本题主要考查条件概率的计算公式P（B|A）=的应用，属于中档题． 12. 已知为圆上的任意一点，若到直线的距离小于的概率为，则=            . 参考答案： 略 13. 棱长为1的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为  ▲  参考答案： 3π 14. 已知F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，过F的直线与抛物线交于A、B两点，AB中点为C，过C作抛物线的准线的垂线交准线于C1点，若CC1中点M的坐标为（，4），则p=　　． 参考答案： 4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率，求出AB的方程，代入抛物线方程，利用纵坐标的值可求出p的值． 【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则其准线为x=﹣ ∵CC1中点M的坐标为（，4），∴y1+y2=8， C（2+，4），F（，0），可得AB的斜率为：， AB的方程为：y=（x﹣）， 代入抛物线方程可得：y2﹣py﹣p2=0 ∴y1+y2=， 可得p=8， ∴p=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识． 15. 已知，若不等式的解集为A，已知，则a的取值范围为_____. 参考答案： [2,+∞) 【分析】 根据题意，分析可得即，其解集中有子集，设，按二次函数系数的性质分3种情况分类讨论，分别求出的取值范围，综合可得结果. 【详解】根据题意得，， 则不等式即， 变形可得，若其解集为A，且， 设，则不等式即， （i）当，即时， 不等式的解集为，符合题意； （ii）当，即时， 若必有 ，解得， 则此时有：； （iii）当，即时， 为二次函数，开口向上且其对称轴为 ， 又，所以在成立， 此时 综上，的取值范围为 【点睛】本题考查二次不等式恒成立和二次函数的性质，二次不等式恒成立问题要根据二次项系数分类求解. 16. 已知双曲线：的离心率，且它的一个顶点到较近焦点的距离为，则双曲线的方程为        ． 参考答案： 略 17. 斜率为3，且与圆 相切的直线方程是                  ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，，且． （1）证明：直线BD∥平面PCE； （2）证明：平面PAC⊥平面PCE； （3）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【分析】 （1）连接，交于，设中点为，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）通过证明，证得平面，由此证得平面，进而有平面平面.（3）以点或者点建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF. 因为O，F分别为AC，PC的中点， 所以，且，因，且， 所以，且， 所以四边形OFED为平行四边形，所以，即 ， 又平面，面，所以面； （2）因为平面，平面，所以. 因为是菱形，所以. 因为，所以平面， 因为，所以平面 ， 因为平面，所以平面平面  ； （3）解法1：因为直线与平面所成角为， 所以，所以 ， 所以，故△为等边三角形. 设BC的中点为M，连接AM，则. 以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）. 则， ，设平面PCE的法向量为， 则,即， 令则所以   ， 设平面CDE的法向量为， 则即， 令则所以  ， 设二面角的大小为，由于为钝角， 所以． 所以二面角的余弦值为． 解法2：因为直线与平面所成角为，且平面， 所以，所以． 因为，所以为等边三角形． 因为平面，由（1）知， 所以平面． 因为平面，平面，所以且． 在菱形中，． 以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）． 则， 则， 设平面的法向量为， 则即， 令，则，则法向量． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则则法向量． 设二面角的大小为，由于为钝角， 则． 所以二面角的余弦值为． 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，属于中档题.   19. （本题满分16分）在淘宝网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克，）满足：当时，，；当时，．已知当销售价格为元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为元/千克时，每日可售出150千克． （1）求的值，并确定关于的函数解析式； （2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格的值，使店铺每日销售该特产所获利润最大（精确到0.1元/千克）． 参考答案： （1）由题意：x=2时y=600，∴a+b=600,          又∵x=3时y=150，∴b=300                       ∴y关于x的函数解析式为：   （2）由题意：， 当，， ∴时有最大值。                        当时， ∴时有最大值630                          ∵630< ∴当时有最大值 即当销售价格为1．7元的值，使店铺所获利润最大。 20. 如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=，AD=4，AM=2，E是AB的中点 （1）求证：平面MDE⊥平面NDC （2）求三棱锥N﹣MDC的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出DE⊥CD，ND⊥AD，从而ND⊥DE，进而DE⊥平面NDC，由此能证明平面MAE⊥平面NDC． （2）由VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC，能求出三棱锥N﹣MDC的体积． 【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB， ∵∠DAB=，∴△ABD为等边三角形， E为AB中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD， ∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD， 又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD， ∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE， ∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC， ∵DE?平面MDE，∴平面MAE⊥平面NDC． 解：（2）∵MA∥ND，∴MA∥平面NDC，∴ME∥平面NDC， ∴平面MAE∥平面NDC，∴ME∥平面NDC， ∴VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC， 由（1）知DE⊥AB，∠DAE=， ∵DA=4，AE=2，∴DE=2， ∴三棱锥N﹣MDC的体积VN﹣MDC=VM﹣NDC=VE﹣NDC==． 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 21. 甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选． （Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．     参考答案： ．                              ……10分 故甲乙两人至少有一人入选的概率． 22. 我国古代数学家张邱建编《张邱建算经》中记有有趣的数学问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”你能用程序解决这个问题吗？ 参考答案： 设鸡翁、母、雏各x、y、z只，则 由②，得z=100－x－y，                             ③ ③代入①，得5x+3y+=100， 7x+4y=100.                            ④ 求方程④的解，可由程序解之. 程序：x=1 y=1 WHILE  x＜=14 WHILE  y＜=25 IF  7*x+4*y=100    THEN z=100－x－y PRINT  “鸡翁、母、雏的个数别