2022-2023学年山西省忻州市业余少体校高一数学文测试题含解析

2022-2023学年山西省忻州市业余少体校高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知圆O的半径为2，P，Q是圆O上任意两点，且，AB是圆O的一条直径，若点C满足（），则的最小值为（   ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 参考答案： C 因为，由于圆的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以 ，所以，当时，，故的最小值为，故选C． 2. 一个等比数列共有3m项，其中前m项和为x，中间m项和为y，后m项和为z，则一定有（  ） A.x+y=z   B．x+z=2y   C．xy=z   D.xz= 参考答案： D 3. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A. 20π      B. 24π     C.28π       D.  32π 参考答案： C 4. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 【详解】由， 而推不出， “”是“充分不必要条件 5. 设是定义域为，最小正周期为的函数，若则等于（    ） A.    B.   C.    D. 参考答案： B  解析： 6. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两个球，那么下列事件中是 互斥事件的是（  ） A.至少有一个白球，都是白球      B.   至少有一个白球，至多有一个红球 C.没有白球，恰有一个红球        D. 至少有一个白球，都是红球 参考答案： .D 略 7. 设,都是由A到B的映射，其中对应法则（从上到下）如下表： 则与相同的是                                                 A.     B.       C.   D. 参考答案： A 8. 如图，在△ABC中，，AD是边BC上的高，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是（  ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 参考答案： C 【分析】 根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形。 【详解】①平面，,都是直角三角形； ②是直角三角形； ③是直角三角形； ④由得平面，可知：也是直角三角形. 综上可知：直角三角形的个数是个，故选：C。 【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题。 9. 将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码是003．这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第一营区，从301到495在第二营区，从496到600在第三营区．则三个营区被抽到的人数分别为                                       A．25，17，8      B．25，16，9      C．26，16，8    D．24，17，9 参考答案： A 略 10. 已知函数，则的值是（　　） A． B．9 C．﹣9 D．﹣ 参考答案： A 【考点】函数的值． 【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵， ∴f（）==﹣2， ∴=3﹣2=． 故答案为：． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上是递增的，实数a的取值范围      ． 参考答案： （，+∞）． 【考点】函数单调性的性质． 【分析】先将函数解析式进行常数分离，然后利用增函数的定义建立关系，进行通分化简，判定每一个因子的符号，从而求出a的范围． 【解答】解：f（x）===+a、 任取x1，x2∈（﹣2，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=． ∵函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， ∵x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0， ∴1﹣2a＜0，a＞， 即实数a的取值范围是（，+∞）． 12. 已知正方体的棱长为a，Ｅ是棱的 中点，Ｆ是棱的中点，则异面直线ＥＦ与ＡＣ所成的角的 大小是　　Δ　　. 参考答案：   (或填） 略 13. 设a + b = 2, b>0, 则当a = ______时, 取得最小值. 参考答案： 14. 若，则_____________. 参考答案： ，故答案为.   15. 如图是一个柱体的三视图，它的体积等于底面积乘以高，该柱体的体积等于　　． 参考答案： 3 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱，求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以左视图为底面的三棱柱， 其底面面积S==， 高h=3， 故该柱体的体积V=Sh=3， 故答案为：3 16. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为　　． 参考答案： 9π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PFPE，因为AE=， 所以侧棱长PA==，PF=2R， 所以6=2R×2，所以R=， 所以S=4πR2=9π． 故答案为：9π． 【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 17. 给定集合，若对于任意，都有且，则称集合为完美集合，给出下列四个论断：①集合是完美集合；②完美集合不能为单元素集；③集合为完美集合；④若集合为完美集合，则集合为完美集合． 其中正确论断的序号是________________． 参考答案： ③ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，∠MPN=，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米． （1）求S关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围：（参考数据：tan≈3） （2）求S的最小值． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S关于θ的函数关系式，M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ=，即可写出θ的取值范围； （2）当2θ+=即时，S取得最小值． 【解答】解：（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=4m，∠PEM=，∠PME=， 由正弦定理可得PM==， 同理，在△PNE中，PN=， ∴S△PMN===， M与E重合时，θ=0，N与D重合时，tan∠APD=3，即θ=， ∴0≤θ≤， 综上所述，S△PMN=，0≤θ≤； （2）当2θ+=即时，S取得最小值=8（﹣1）平方米． 19. 数列{an}的前n项和. （1）求{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使成立的实数m最小值. 参考答案： （1）；（2），. 【分析】 （1）由已知可先求得首项，然后由，得，两式相减后可得数列的递推式，结合得数列是等比数列，从而易得通项公式； （2）对数列可用错位相减法求其和．不等式恒成立，可转化为先求的最大值． 【详解】（1）由得. 由，可知， 可得，即. 因为，所以，故 因此是首项为，公比为的等比数列， 故. （2）由（1）知. 所以① 两边同乘以得 ② ①②相减得 从而 于是， 当是奇数时，， 因为， 所以. 当是偶数时， 因此. 因为， 所以，的最小值为. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是，其中是等差数列，是等比数列． 20. （1）已知，求x+x﹣1的值； （2）计算的值． 参考答案： 解：（1），x+x﹣1==9﹣2=7      （2） =2﹣2×2﹣log63﹣log62 =﹣3． 考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 专题：计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 分析：（1）利用平方关系，直接求解即可． （2）利用对数运算法则以及指数运算法则化简求解即可． 解答：解：（1），x+x﹣1==9﹣2=7      （2） =2﹣2×2﹣log63﹣log62 =﹣3． 点评：本题考查对数运算法则以及有理指数幂运算法则的应用，考查计算能力． 21. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD （Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；证明题；综合题． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD； （II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=， 从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD． （II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD， 则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD， ∴BC⊥BD． 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE， 则DE⊥平面PBC． 由题设知PD=1，则BD=，PB=2． 根据DE?PB=PD?BD，得DE=， 即棱锥D﹣PBC的高为． 【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． 22. （本小题8分）如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点. (1) 求证: //平面; (2) 求证:面平面; (3) 求二面角的正切值.                                                                                                      参考答案： (Ⅰ)证明:为平行四边形 连结