2022-2023学年湖北省宜昌市枝江第二高级中学高一数学理月考试卷含解析

2022-2023学年湖北省宜昌市枝江第二高级中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 两个非零向量，的夹角为θ，则当+ t ( t∈R )的模取最小值时，t的值是（   ） （A）|| · || · cos θ        （B）– || · || · cos θ  （C）–cos θ               （D）–cos θ 参考答案： C 2. 将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案． 详解：分针转一周为60分钟，转过的角度为 将分针拨慢是逆时针旋转 ∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为 故选：C． 点睛：本题考查弧度的定义，一周对的角是弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角，属于基础题． 3. sin300°的值为（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得， 故选：C．   4. 已知直线y=kx与圆x2+y2=3相交于M,N两点，则|MN|等于(   ) A.      B.          C.     D.2 参考答案： D 5. 下列三角函数值的符号判断正确的是（　　） A．sin156°＜0 B． C． D．tan556°＜0 参考答案： C 【考点】三角函数值的符号． 【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可． 【解答】解：A、因为156°在第二象限，所以sin156°＞0，故A错误； B、因为=，所以B错误； C、因为=，所以C正确； D、因为tan556°=tan=tan196°，且196°在第三象限， 所以tan556°＞0，故D错误； 故选：C． 6. 把函数的图象向右平移(>0)个单位，所得的图象关于y轴对称，则的最小值为 (A)            (B)          (C)          (D) 参考答案： B 略 7. 两圆和的位置关系是（    ） Ａ  相离       Ｂ  相交      Ｃ  内切       Ｄ． 外切 参考答案： B 8. 若角α的终边与单位圆的交点为，则tanα=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】x=，y=﹣，根据任意角的三角函数的定义可得结论． 【解答】解：由题意，x=，y=﹣，tanα==﹣． 故选B． 9. 如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形， PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（　　） A、PB⊥AD                  B、平面PAB⊥平面PBC            C、直线BC∥平面PAE       D、直线PD与平面ABC所成的角为45° 参考答案： D 略 10. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A. “至少有1个白球”和“都是红球” B. “至少有1个白球”和“至多有1个红球” C. “恰有1个白球”和“恰有2个白球” D. “至多有1个白球”和“都是红球” 参考答案： C 【分析】 根据题意，依次分析选项，列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义分析即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意； 对于B、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意； 对于C、“恰有1个白球”即“一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件， 对于D、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查互斥事件与对立事件，注意理解互斥事件和对立事件的定义． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等于_________. 参考答案： 3 12. 下列说法正确的是___________。 ①函数y=kx+b（k0，xR）有且只有一个零点； ②单调函数在其定义域内的零点至多有一个； ③指数函数在其定义域内没有零点； ④对数函数在其定义域内只有一个零点； ⑤幂函数在其定义域内至少有一个零点。 参考答案：   ①②③④ 13. 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=         ． 参考答案： ﹣1 【考点】分析法的思考过程、特点及应用． 【分析】这是一个凑配特殊值法解题的特例，由f（2x+1）=x2﹣2x，求f（3）的值，可令（2x+1）=3，解出对应的x值后，代入函数的解析式即可得答案．本题也可使用凑配法或换元法求出函数f（x）的解析式，再将 x=3代入进行求解． 【解答】解法一：（换元法求解析式） 令t=2x+1，则x= 则f（t）=﹣2= ∴ ∴f（3）=﹣1 解法二：（凑配法求解析式） ∵f（2x+1）=x2﹣2x= ∴ ∴f（3）=﹣1 解法三：（凑配法求解析式） ∵f（2x+1）=x2﹣2x 令2x+1=3 则x=1 此时x2﹣2x=﹣1 ∴f（3）=﹣1 故答案为：﹣1 【点评】求未知函数解析式的函数的函数值，有两种思路，一种是利用待定系数法、换元法、凑配法等求函数解析式的方法，求出函数的解析式，然后将自变值，代入函数解析式，进行求解；（见本题的解法一、二）二是利用凑配特殊值的方法，凑出条件成立时的特殊值，代入求解．（见本题的解法三） 14. 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统 计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下： [40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100],4. (1)在给出的样本频率分布表中，求A,B,C,D的值； (2)估计成绩在80分以上(含80分)学生的比例； (3)为了帮助成绩差的学生提高数  学成绩，学校决定成立“二帮一”  小组，即从成绩在[90,100]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表如右：                                                   参考答案： 略 15. 某校为了解学生的视力情况,要从不同年级抽取学生100人测量他们的视力.已知该校高一、高二、高三分别有学生1500人、1800人、1700人,则应从高一年级抽取______人. 参考答案： 30 略 16. 已知集合，集合.若令，那么从到的映射有       个. 参考答案： 25 17. 已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若，则的最小值 ________． 参考答案： 如图建立平面直角坐标系， ∴ ， 当sin时，得到最小值为，故选。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分16分） 已知函数（其中）的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为． （1）求函数的解析式和单调增区间； （2）若，求函数的最大值和最小值． 参考答案： 解：（1）由题意，，，得， 所以，………………………………………………………………2分   再由，且， 得，所以的解析式为．……………………………4分 由，……………………………………………………6分 得， 所以的单调增区间为．……………………………8分 （2）因为，所以，………………………………………10分 所以，，……………………………………………………………12分 ， 所以，．………………………………………………………16分 19. 已知二次函数满足． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围． 参考答案： 解（Ⅰ）设，则          解之得： （Ⅱ）根据题意：             解之得：       略 20. 函数，0＜a＜1 （Ⅰ）求函数的定义域并求该函数的单调区间. （Ⅱ）若函数的值域为[－2,+∞)，求a的值. 参考答案： 解：（Ⅰ）要使函数有意义，则有解得， 所以定义域为. 函数可化为 利用复合函数单调性可得单调减区间为，单调增区间为 （Ⅱ）函数可化为 ∵，∴， ∵，∴，由题意知：， 得，∴. 21. 已知直线l的方程为2x﹣y+1=0 （Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程； （Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程． 参考答案： 【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A（3，2）代入解得m即可； （Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1=0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c=0，由于点P（3，0）到直线l2的距离为．可得=，解得c即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0， 把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m=0，解得m=﹣7． ∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7=0； （Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1=0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c=0， ∵点P（3，0）到直线l2的距离为． ∴=， 解得c=﹣1或﹣11． ∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1=0或2x﹣y﹣11=0． 22. （本题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面, 为的中点,. (1) 求证：平面； (2) 若，求三棱锥的体积. 参考答案： （1）连接,设与相交于点,连接.           …………1分 ∵ 四边形是平行四边形,∴点为的中点.     ∵为的中点，∴为△的中位线, ∴ .              …………4分 ∵平面,平面, ∴平面.        ………… 6分 （2）∵三棱柱，∴侧棱， 又∵底面，∴侧棱， 故为三棱锥的高，，       …………8分                  …………10分        …………12分