2022-2023学年江苏省淮安市王营镇第一中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年江苏省淮安市王营镇第一中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 命题p: “矩形的两条对角线相等”的逆命题是（  ） A. 两条对角线相等的四边形是矩形          B. 矩形的两条对角线不相等        C. 有的矩形两条对角线不相等              D. 对角线不相等的四边形不是矩形 参考答案： A 略 2. 已知a>l，则使成立的一个充分不必要条件是（  ） A．   B． C．   D． 参考答案： A 略 3. 函数f（x）=x3﹣x2﹣x（0＜x＜2）极小值是（　　） A．0 B．﹣1 C．2 D．1 参考答案： B 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可． 【解答】解：f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），（0＜x＜2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1， 故f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增， 故f（x）极小值=f（1）=﹣1， 故选：B． 4. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4, a3+a5=10,则它的前10项和为（   ）     A．138      B．135     C．95     D．23 参考答案： C 略 5. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（　　） A．300 B．216 C．180 D．162 参考答案： C 【考点】D8：排列、组合的实际应用． 【分析】本题是一个分类计数原理，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数；取0此时2和4只能取一个，0不可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]，根据加法原理得到结果． 【解答】解：由题意知，本题是一个分类计数原理， 第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数， 组成没有重复数字的四位数的个数为C32A44=72 第二类：取0，此时2和4只能取一个，0不能排在首位， 组成没有重复数字的四位数的个数为C32C21[A44﹣A33]=108 ∴组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180 故选C． 6. 从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（　　）种． A．36 B．72 C．90 D．144 参考答案： A 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【分析】再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得结果． 【解答】解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有=6种， 再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种， 根据分步计数原理求得所有的排列方法共有 6×6=36种， 故选：A． 7. 如果命题“”为假命题，则 （  ） A．、均为假命题          B．、均为真命题 C．、中至少有一个假命题    D．、中至少有一个真命题 参考答案： D 8. 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为： 到站时间   8:10 9:10 8:30 9:30 8:50 9:50 概率 1/6 1/2 1/3 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为(精确到分)    （      ） A        B     C     D 参考答案： D 略 9. 用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的有（     ）    A.24         B.30          C.40           D.60 参考答案： A 10. 命题“若，则”的否定是               （    ） 若，则      若，则  存在，使      D．若，则 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等差数列{an}的首项为a，公差为-4，前n项和为Sn，若存在，使得，则实数a的最小值为            . 参考答案： 15 12. 直线l垂直于，且平分圆C：，则直线l的方程为       . 参考答案： 设直线： ，因为过圆心（-1，2），所以 ，即   13. 函数y=x+2cosx在区间上的最大值是　　． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值． 【解答】解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx 令y′=0而x∈则x=， 当x∈[0，]时，y′＞0． 当x∈[，]时，y′＜0． 所以当x=时取极大值，也是最大值； 故答案为 14. 若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且）,就称该数列为“对称数列”. 已知数列是项数为7的对称数列,且成等差数列，试写出所有项__________. 参考答案： 略 15. 已知f(n＋1)＝f(n)－ (n∈N*)且f(2)＝2，则f(101)＝_______.  参考答案： 略 16. 二项式（﹣）n的展开式中各项系数之和为，则展开式中的常数项为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】二项式系数的性质． 【分析】先x=1，求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项． 【解答】解：令x=1，根据题意有， 解得n=6； （﹣）6展开式的通项公式为： ， 令，解得r=3； 所以，展开式的常数项为： ． 故答案为：﹣． 17. 双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质；基本不等式． 【分析】由双曲线渐近线的方程可知， =，离心率e=，从而利用基本不等式即可求得的最小值． 【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为， ∴=， 又离心率e=， ∴e2=1+=4， ∴===+≥2=2=． 即的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查基本不等式，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=x3﹣ax2+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0． （1）求a，b的值； （2）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式； （2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值． 【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax， ∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上， ∴y=﹣x+3=f（1）=﹣a+b=2①， f′（1）=﹣1=1﹣2a②， 由①②解得：a=1，b=； （2）∵f（x）=x3﹣x2+， ∴f′（x）=x2﹣2x， 由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有 x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）． ∵f（0）=，f（2）=，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8， ∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8． 19. （本小题满分15分）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上， 的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：、、、． （1）经判断点，在抛物线上，试求出的标准方程； （2）求抛物线的焦点的坐标并求出椭圆的离心率； （3）过的焦点直线与椭圆交不同两点且满足，试求出直线的方程． 参考答案： 解得 ∴方程为……………………………………………6分 法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意……………………………9分 当直线斜率存在时，直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为 由消掉，得，…………10分 于是，①   20. 已知2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，……；n条直线将一个平面最多分成个部分() （1）试猜想：n个平面最多将空间分成多少个部分()? （2）试证明（1）中猜想的结论. 参考答案： (1) 猜想：n个平面最多将空间分成个部分()；(2)见解析. 【分析】 （1）作图，三个平面最多将空间分成8个部分，结合平面结论形式，猜想个平面最多将空间分成个部分(). （2）利用数学归纳法证明结论. 【详解】（1）猜想：个平面最多将空间分成个部分()； （2）证明：设个平面可将空间最多分成个部分， 当３时,３个平面可将空间分成８个部分，，所以结论成立. 假设当时，，则当=时，第个平面必与前面的个平面产生条交线，而由（Ⅰ）知，这条交线把第个平面最多分成个部分，且每一部分将原有的空间分成两个部分，所以 　 . 因此，当=时，结论成立.由数学归纳法原理可知，对且，得证. 【点睛】本题考查类比推理，数学归纳法，确定与的关系是关键，考查逻辑推理能力，属于难题. 21. (本小题满分12分）某产品的广告支出（单位：万元）与销售收入（单位：万元）之间有如下数据： 广告支出（单位：万元） 1 2 3 4 销售收入（单位：万元） 12 28 42 56 根据以上数据算得： (Ⅰ)求出对的线性回归方程，并判断变量与之间是正相关还是负相关； （Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？ （参考公式：） 参考答案： （Ⅰ）由表中数据得，， ∴线性回归方程为，变量与之间是正相关； （Ⅱ）依题意有，解得，所以广告支出费用至少需投入10万元. 22. 已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，且过点A（2，1）． （Ⅰ） 求椭圆C的方程； （Ⅱ） 若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程． （Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由点A（2，1）在椭圆C上，求出．同理，由此能求出直线PQ的斜率为定值． 法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．由∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，知，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，能求出直线PQ的斜率为定值． 法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x