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2022-2023学年广东省汕尾市海丰县林伟华中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的二项展开式的第三项为,则关于的函数图像大致形状为( )
参考答案:
D
略
2.
某次文艺汇演,要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单,如下表:
序号
1
2
3
4
5
6
节目
如果A、B两个节目要相邻,且都不排在第3号位置,那么节目单上不同的排序方式有( )
A.192种 B.144种 C.96种 D.72种
参考答案:
答案:B
3. 设m,n为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题:
①若,则; ②若则;
③若,则; ④若,则.
其中的正确命题序号是( )
A.③④ B.②④ C.①② D. ①③
参考答案:
A
4. 一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为 ( )
A. B.
C.1 D.
参考答案:
A
5. 已知复数(其中i是虚数单位,满足i2=﹣1),则复数z等于( )
A.1﹣2i B.1+2i C.﹣1﹣2i D.﹣1+2i
参考答案:
A
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解: =,
故选:A.
6. 已知全集,集合,,则集合中元素的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
C
略
7. 在复平面内复数、 (是虚数单位)对应的点在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
8. 已知,则( )
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
参考答案:
A
【考点】49:指数函数的图象与性质.
【分析】根据指数函数的性质判断a,b的关系,指数幂化为根式,判断a,c即可.
【解答】解:∵a=,b=,>,
∴a>b,
又a==,c=,
故a<c,
故c>a>b,
故选:A.
【点评】本题考查了指数函数的性质,考查指数幂和根式的互化,是一道基础题.
9. 下列说法正确的是( )
A.命题“2≥1”是假命题
B.命题“?x∈R,x2+1>0”的否定是:x0∈R,+1<0
C.命题“若2a>2b,则a>b”的否命题是“若2a>2b,则a≤b”
D.“x>1”是“x2+x+2>0”充分不必要条件
参考答案:
D
【考点】四种命题.
【分析】利用命题的定义以及四个命题之间的关系分别对选项分析选择.
【解答】解:A,“2≥1”不是命题;故A错误;
B.命题“?x∈R,x2+1>0”的否定是:≥0;故B错误;
C.命题“若2a>2b,则a>b”的否命题是“若2a≤2b,则a≤b”;故C错误;
D.“x>1”能够推出“x2+x+2>0”;但是“x2+x+2>0”?x∈R,不一定?“x>1”;所以“x>1”是充分不必要条件.
故选:D.
10. 函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在的展开式中,的系数为______(用数字作答).
参考答案:
展开式中含有的项有:五项,的系数为.
另,.
12. 已知函数,且在处的切线与直线垂直,则a= .
参考答案:
1
函数,求导得:.
在处的切线斜率为.
解得.
13. 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是CC1中点,则二面角的正切值为_______.
参考答案:
【分析】
设正三棱柱的所有棱长2,取的中点,这样可以证明出,通过侧面与底面垂直,利用面面垂直的性质定理可以证明出侧面,也就证明出,这样过作,利用线面垂直的判定定理,可以证明出所以平面,也就证出,这样就可以找到二面角的平面角的补角,通过计算可以求出二面角的平面角的补角的正切值,也就求出二面角的平面角的正切值.
【详解】设正三棱柱的所有棱长2, 取的中点,连接,由题意可知, ,所以,利用勾股定理可以求得,过
作,垂足为,连接,如下图所示:
在正三棱柱 中,侧面底面,
而侧面底面,所以侧面,平面,所以有,,平面,所以平面,
而平面,所以,因此是二面角的平面角的补角,
在正方形中, 由面积可得,
求出,在中, ,
所以二面角的正切值为.
【点睛】本题考查了求二面角的正切值问题,解决本题的关键是找到二面角的平面角的补角.
14. =________.
参考答案:
答案:
15. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况),则ab的最大值为 .
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差.
【分析】利用数学期望的概念,建立等式,再利用基本不等式,即可求得ab的最大值.
【解答】解:由题意,投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1)),
∴3a+2b=2,
∴2≥2,
∴ab≤(当且仅当a=,b=时取等号)
∴ab的最大值为.
故答案为:.
16. 在中,,点在边上,且满足,则的
最小值为 ▲ .
参考答案:
17. 将一颗骰子向上抛掷两次,所得的点数分别为m和n,则n≤2m的概率是 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设是定义在R上的奇函数且对任意实数恒有,当时,。
(1)当时,求的解析式;
(2)计算的值。
参考答案:
解:(1)当时, ;
(2)
略
19. 已知,
(Ⅰ)对一切,恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数在 上的最值;
(Ⅲ)证明:对一切,都有成立。
参考答案:
解:(Ⅰ)对一切恒成立,即恒成立.也就是在恒成立.
令 ,
则,
在上,在上,因此,在处取极小值,也是最小值,即,所以.
(Ⅱ)当 ,
,由得.
①当时,在上,在上
因此,在处取得极小值,也是最小值. .
由于
因此,
②当,,因此上单调递增,所以,
(Ⅲ)证明:问题等价于证明,
由(Ⅱ)知时,的最小值是,当且仅当时取得,
设,则,易知
,当且仅当时取到,
但从而可知对一切,都有成立.
略
20. (2017?宁城县一模)已知实数a,b,c均大于0.
(1)求证: ++≤a+b+c;
(2)若a+b+c=1,求证:≤1.
参考答案:
【考点】不等式的证明.
【分析】直接利用基本不等式,即可证明.
【解答】证明:(1)∵实数a,b,c均大于0,
∴a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,
三式相加,可得: ++≤a+b+c;
(2)∵a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,
∴≤++≤a+b+c=1.
【点评】本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,属于中档题.
21. (本题满分14分)某地区的农产品第天的销售价格(元∕百斤),一农户在第天农产品的销售量(百斤)(为常数),且该农户在第7天销售农产品的销售收入为2009元。
(1)求该农户在第10天销售农产品的销售收入是多少?
(2)这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?为多少?
参考答案:
解:⑴由已知第7天的销售价格,销售量q=a+1. ∴第7天的销售收入=2009 (元) . T
第10天的销售收入 (元) 5分
⑵设第天的销售收入为,则 8分
当时, .(当且仅当时取等号)∴当时取最大值 当时,.(当且仅当时取等号)∴当时取最大值. 由于,∴第2天该农户的销售收入最大
答:⑴第10天的销售收入2009元;⑵第2天该农户的销售收入最大――― 14分
22. 已知数列中,,满足。
(1)求证:数列为等差数列;
(2)求数列的前项和.
参考答案:
(1)证明:由定义 …………….3分
故是以为首项,1为公差的等差数列。 ……………6分
(2)由(1)知 …………….7分
令的前项和,则
①
②
①-②得 ……………10分
故 …………….12分
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