2022-2023学年云南省曲靖市宣威市文兴乡第一中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知各项均不为零的数列{an}，定义向量。下列命题中真命题是
A．若n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等差数列
B．若n∈N*总有∥成立，则数列{an}是等比数列
C．若n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等差数列
D．若n∈N*总有⊥成立，则数列{an}是等比数列
参考答案：
A
由得，，即，所以，所以，故数列是等差数列，选A。
2. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
,则,在R上是减函数.,的解集为.选D.
3. 已知平面向量与垂直，则实数的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
参考答案：
A
略
4. 如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
参考答案：
A
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．
【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．
代入（﹣，0）可得φ的一个值为，
故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），
即y=sin2（x+），
所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
故选A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，属于基础题题．根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的
5. 设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于( )
A． B． C． D．－2
参考答案：
答案：D
6. 函数，在区间上任取一点，则的概率为（ ）．
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 已知（其中为正数）,若,则的最小值是（ ）
A.2 B. C. D.8
参考答案：
C
8. 设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A. f(x)的一个周期为?2π B. y=f(x)的图像关于直线x=对称
C. f(x+π)的一个零点为x= D. f(x)在(,π)单调递减
参考答案：
D
f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误．
故选D.
9. 已知，则
（A） (B) 2 (C) 3 (D) 6
参考答案：
D
本题主要考查函数的极限求法，同时考查转化的思想及简单的方程思想．难度较小．
(＋)＝＝＝＝2，即a＝6．
10. 一个五位自然数，当且仅当
时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的
个数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
D
考点：排列组合．
【思路点晴】本题考查排列组合基础知识，意在考查学生分类讨论思想、新定义数学问题的理解运用能力和基本运算能力.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．
参考答案：
x≤8
【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．
【解答】解：x＜1时，ex﹣1≤2，
∴x≤ln2+1，
∴x＜1；
x≥1时，≤2，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．
故答案为：x≤8．
【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题．
12. 函数.给出函数下列性质：
⑴函数的定义域和值域均为；⑵函数的图像关于原点成中心对称；⑶函数在定义域上单调递增；⑷（其中为函数的定义域）；⑸、为函数图象上任意不同两点，则.请写出所有关于函数性质正确描述的序号
参考答案：
⑵⑷
13. 在区间内随机取两个数a、b， 则使得函数有零点的概率
为 。
参考答案：
略
14. 在长方形中，，为的中点，若，则的长为
参考答案：
2
15. 设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，数列的前项和取最大值，则首项的
取值范围为__________________。
参考答案：
16. 以下给出五个命题，其中真命题的序号为
① 函数在区间上存在一个零点, 则的取值范围是或；
② “菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”；
③ ；
④ 若，则；
⑤ “”是“成等比数列”的充分不必要条件.
参考答案：
①③④
略
17. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AD，CD上，且.将此正方形沿BE，BF，EF切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为 ．
参考答案：
如图所示，在长宽高分别为的长方体中，
三棱锥即为题中所给的四个面组成的三棱锥，
该三棱锥的体积：，
在△AB1C，由勾股定理易得：，
由余弦定理可得：，
则，
故，
该三棱锥的表面积为：，
设三棱锥外接球半径为,则：，
即：，
该三棱锥的体积：.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知直线和点P(3,1),过点P的直线与直线在第一象限交于点Q，与x轴交于点M，若为等边三角形，求点Q的坐标
参考答案：
因直线的倾斜角为，
要使为等边三角形，直线的斜率应为，
设，则，
解得：，
19. 某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p.
（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.
①当，时，求的分布列；
②是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.
参考答案：
（Ⅰ）； （Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.
【分析】
（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.
【详解】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，
设事件：3人中恰有1人检测结果阳性，则其概率
（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为
②分组时，每人检验次数的期望如下
∴
不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需 即
所以当时，用分组的办法能减少检验次数.
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.
20. 如果函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且f(x)为增函数，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f()＝f(x)－f(y)；
(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．
参考答案：
(1)证明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)，
∴f()＝f(x)－f(y)．
(2)∵f(3)＝1，f(a)>f(a－1)＋2，
∴f(a)－f(a－1)>2.
∴f()>2＝f(3)＋f(3)＝f(9)．
∵f(x)是增函数，
∴>9.又a>0，a－1>0，∴1
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