应用时间序列分析 史代敏 谢小燕课件第五章 传递函数与干预变量

应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材第五章第五章 传递函数模型传递函数模型 与干预变量分析与干预变量分析应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材主要内容和要求主要内容和要求 本章讨论多元的时间建模的相关问题。主要内容和要求：1.定义传递函数模型的形式；2.研究传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质，以及传递函数模型的稳定性；3.介绍传递函数模型的识别、估计和诊断校验。4.干预变量模型识别、估计和诊断校验。要求学生掌握有关传递函数模型的理论、脉冲响应函数与互相关函数的关系。传递函数建模过程和干预变量模型建模过程。2应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 在前几章，我们讨论了单变量时间序列分析的建模、估计和诊断有关的问题。本章与前面几章不同的是，所涉及的变量在两个以上。实际上在很多场合，时间序列当期的表现，不仅受自己过去的影响，还与另一个或者多个时间序列相关联。例如销售变量可能与广告支出有关，每天用电支出可能与一定的天气变量，比如室外最高气温和相对湿度的序列有关。传递函数模型是分析一个输出变量与一个或多个输入变量有关的动态模型的一种方法。第一节第一节 传递函数模型的基本概念传递函数模型的基本概念3应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材一、一、模型的形式模型的形式 设表示某种商品在一段时间的销售额Yt，由于经济时间序列通常的有记忆性，可以用一个ARMA模型来描述其变化规律，假定其变化规律的表达式为 如果我们考虑广告费，广告费对销售额的影响不仅有即期影响，还具有一定的滞后效应，假定其滞后的影响是一期，那么在式中就应加入广告费的滞后一期值和即期值。4应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 如果广告费的滞后一期值对销售额的影响效用是0.60，即期影响是0.55，则这个简单的输出和输入关系为 如果用后移算子B，模型的等价形式为5应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 模型的基本原理是输入Xt通过传递函数算子 传递到输出Yt上，而随机扰动项通过算子叠加到输出上，最终输出Yt。6应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 一个输入变量的单输出的线性系统的形成机理可以由图5-1表示。动态系统输入xt输出yt随机干扰t图图5-1 动态系统图示动态系统图示7应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材传递函数模型的一般形式传递函数模型的一般形式 其中(B)、(B)、(B)和(B)是后移算子的多项式，阶数分别为s、r、q及p。(B)和(B)描述Xt 对Yt影响。(B)和(B)描述随机干扰项对Yt影响。b称为延迟参数，即Xt 的b期滞后值才开始对Yt产生影响Xt。at为随机干扰项。为传递函数。8应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材其中9应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材传递函数模型形成机理传递函数模型形成机理 图5.2 一般传递函数模型形成过程一般传递函数模型形成过程10应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材二、脉冲相应函数特征二、脉冲相应函数特征 传递函数是由B的多项式构成，即 所以，确定了其传递函数部分三个参数s、r和b，传递函数基本情况就了解了。传递函数的特征为传递函数的三个参数的的判定提供了依据。由于传递函数V(B)是有理函数，则V(B)可以表示为B的无穷阶的多项式。11应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材传递函数的多项式形式为传递函数的多项式形式为 V(B)的系数vj（j=1,2，）称为脉冲响应函数。说明Xt的滞后变量是如何影响Yt。有 可以用待定系数法求V(B)的系数vj(j=1,2，)，vj称为脉冲响应函数,描述Xt的滞后变量是如何影响Yt。12应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材总结起来脉冲响应函数有如下几个特征：脉冲响应函数vj的形式，（1）前b个脉冲函数值为零，即v0=v1=vb-1；13应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 （2）当时 ，脉冲响应函数由式 确定，因为j-b是不同的参数，这时的脉冲响应函数无固定形式；14应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 （3）当jb+s时，j-b 均为零，这时则有 这恰好是一个r阶的差分方程，可见当jb+s时的脉冲响应函数是该方程的解，所以当jb+s+1时，脉冲响应函数呈指数衰减，r个初始响应函数为 结合这3点，我们可以得到三个参数r、s和b的值。15应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材三、常见的传递函数的形式三、常见的传递函数的形式 为了进一步了解传递函数模型，下面给出几个低阶的传递函数模型，从低阶的传递函数模型体会传递函数模型的结构。在应用研究中r和s均较小，一般不超过2。16应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，0，0）（2，0，1）（2，0，2）1.r=01.r=0的情形的情形 ，17应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材2.r=1的情形的情形（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，1，1）（2，1，2），18应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材四、传递函数的稳定性四、传递函数的稳定性 在一元的时间序列分析中，需要讨论序列的平稳性，在传递函数模型中，称为稳定性，其稳定性表现在两个方面。一个是针对传递函数讨论。另一个是针对 讨论。19应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 从时间序列滞后的特点来看，既往输入系统的变量，滞后期越长，对系统的影响则越小，所以脉冲响应函数vj(j=1，2，）应该快速收敛到零，这样传递函数则更稳定性。为了满足vj(j=1，2，）快速收敛到零，则要求E(B)构成的特征方程的根必须在单位圆之内。20应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 对于随机干扰部分的平稳性要求与前面对ARMA模型平稳性的要求是一样的，要求由(B)构成特征方程 的根在单位圆之内。21应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材【例5.1】假设传递函数模型为讨论其稳定性。，解：由算子 构成的特征为其根为22应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 而两个根的模 所以特征方程的根在单位圆之内，传递函数是平稳的。又由于特征方程 的根为0.45，小于1，所以模型的随机干扰项部分是平稳的。所以该传递函数模型是平稳的。23应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材第二节第二节 传递函数模型的识别与估计传递函数模型的识别与估计 涉及单变量问题的ARMA模型，其识别工具主要是自相关和偏自相关函数的截尾性质，之所以称为自相关，是因为它们均讨论同一变量在两个不同时刻输出之间的相关性。而传递函数的模型是多元的时间序列分析，模型的识别会同时涉及到互相关（交叉相关）和自相关问题，因为自相关在前面的章节已经讨论，所以这里只讨论互相关（交叉相关）的问题。24应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材一、互相关函数一、互相关函数 (一)互相关函数定义 定义（互相关函数）：给定时间序列Xt和Yt，（t=1，2，），二者均为一元平稳时间序 列。称 为互协方差函数。25应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 为互相关函数，记为CCF。互相关函数刻画了两个时间序列之间的时滞相关性，如果(xt，ys)(t0）的影响可能很小，甚至为零，Xt但是对于Yt+s的影响会比较大，因为当前的广告费会对未来的销售额产生影响。至于相关性会到达什么程度，或者什么方向，要根据实际问题而言。28应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材（二）样本互相关函数（二）样本互相关函数 由于总体的互相关函数是未知的，通常需要用一个跨度为N的样本来估计总体互相关函数，假设这个跨度为N的样本为(X1，Y1)，(X2，Y2)，(XN，YN)，不妨假设Xt和Yt为平稳的时间序列。因为如果二者是非平稳的，总可以经过d阶差分将其转换为平稳的时间序列。样本的互协方差函数为29应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材样本的互相关系数为 其中 分别是两个序列的均值和标准差。在实际中，为了获得互相关函数有统计意义的估计，样本容量要求至少为50对观测值，但是为了了解互相关函数计算的原理，下面我们模拟一个二变量的时间序列的样本，并给出计算的过程。30应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 【例5.1】对表5-3中模拟的序列，计算互相关系数。txtyt111 70-12710-42396-2-241271-1514830613102231应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 分别计算出两个序列的均值分别为11和8，标准差分别为2.38和1.53。先计算互协方差函数：32应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 33应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材再计算互相关函数 从这里的计算结果可以看出互相关系数不是对称的，即不仅与间隔有关，还与方向有关。34应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 【例5.3】本例的数据来源于Box与Jenkins合著时间序列分析预测与控制序列M。序列M是1970年某种商品的销售额与销售额的领先指标共150对数据，图5-4是领先指标Xt的数据图，图5-5是销售额指标Yt的数据图，图5-6是利用SAS计算的差分数据Xt和Yt的互相关函数。35应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材xt91011121314time0102030405060708090100110120130140150图图5-4 领先指标领先指标的趋势图的趋势图36应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材yt190200210220230240250260270time0102030405060708090100110120130140150图图5-5 销售额的趋势图销售额的趋势图37应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -7 0.00094366 0.00208|.|.|-7 0.00094366 0.00208|.|.|-6 -0.048176 -.10622|.*|.|-6 -0.048176 -.10622|.*|.|-5 0.030690 0.06766|.|*.|-5 0.030690 0.06766|.|*.|-4 -0.013401 -.02955|.*|.|-4 -0.013401 -.02955|.*|.|-3 0.024782 0.05464|.|*.|-3 0.024782 0.05464|.|*.|-2 -0.026508 -.05844|.*|.|-2 -0.026508 -.05844|.*|.|-1 0.043985 0.09698|.|*.|-1 0.043985 0.09698|.|*.|0 -0.0014380 -.00317|.|.|0 -0.0014380 -.00317|.|.|1 0.032168 0.07092|.|*.|1 0.032168 0.07092|.|*.|2 -0.172487 -.38029|*|.|2 -0.172487 -.38029|*|.|3 0.326598 0.72007|.|*|3 0.326598 0.72007|.|*|4 0.047392 0.10449|.|*.|4 0.047392 0.10449|.|*.|5 0.049176 0.10842|.|*.|5 0.049176 0.10842|.|*.|6 0.019792 0.04364|.|*.|6 0.019792 0.04364|.|*.|7 0.064040 0.14119|.|*|7 0.064040 0.14119|.|*|.marks two standard errors.marks two standard errors Xt 的的 yt互相关函数图互相关函数图图图5-65-6 38应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材 “.”标志相关系数两倍标准差处，可以看出