湖南省娄底市新化县2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

2022年下学期高二期末考试试题 数 学 （考试范围：选择性必修第一册、第二册） 时量120分钟，分值150分 第I卷（选择题共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．对于空间向量.若，则实数λ＝ A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．在等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C．2 D．3 4．双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）. A． B． C． D． 6．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成卦，则（    ） A．120 B．122 C．124 D．128 7．已知，，，设曲线在处的切线斜率为，则（    ） A． B． C． D． 8．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2023，0，4与数列4，0，-2023是同一个数列 B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C．在数列中,第8个数是 D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 10．两平行直线和间的距离为， 若直线的方程为， 则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．广大青年要从现在做起，从自己做起，勤学、修德、明辨、笃实，使社会主义核心观成为自己的基本遵循，并身体力行大力将其推广到全社会去，努力在实现中国梦的伟大实践中创造自己的精彩人生．若“青年函数”的导函数为，则（    ） A． B． C．存在零点 D．无零点 12．在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（    ） A．若点在平面内，则必存在实数，使得 B．直线与所成角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．存在实数、使得 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若直线：与直线：垂直，则______. 14．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为______. 15．在数列中，，，则通项公式=_____. 16．已知函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，其余各题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知直线的方程为 (1)若与直线平行，求的值； (2)若在轴，轴上的截距相等，求的方程. 18．．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程． 19．如图所示的几何体中，平面，是的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 20．数列{}为正项等比数列，且已知. (1)求数列{}的通项公式； (2)在数列{}中的与两项之间插入m个实数，，，…，.得，，，……，，数列{}，要使得等差数列{}的公差d不大于2，当m取得最小值时，求的值. 21．设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：． 22．己知函数． (1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数a的值； (2)设，若函数在区间当为严格递减函数时，求实数a的取值范围； (3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 2022年下学期期末高二质量监测 数学参考答案 一、单项选择题：（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D A A C A. 7．【详解】当时，，，， ，在上单调递减； ，即，. 故选：C. 8．【详解】因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为， 由已知条件可得，则为圆的一条直径，则， 所以，，当且仅当时，等号成立. 故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 题号 9 10 11 12 答案 BCD BC BCD BCD 12．【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误； 对B：取的中点为，连接，如下所示： 在三角形中，分别为的中点，故可得//， 在三角形中，分别为的中点，故可得//， 则//，故直线所成的角即为或其补角； 在三角形中，， ， 由余弦定理可得：， 即直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：连接如下图所示： 在三角形中，， ，， 故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为， 则.故C正确； 对D：记的中点为，连接，如下所示： 由B选项所证，//，又面面，故//面； 易知//，又面面，故//面， 又面，故平面//面， 又面，故可得//面， 故存在实数、使得，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13． 14． 15．2+ln n 16．【详解】由题意可知，函数的定义域为， 且， 所以，函数为偶函数， 当时， 且不恒为零，所以，函数在上为增函数， 由可得，则，可得， 整理可得，解得. 四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，其余各题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、解（1）因为与直线平行， 所以且， 解得：. （2）当时，：，不满足题意. 当时，与轴，轴的交点分别为， 因为在轴，轴上的截距相等，所以，解得. 故的方程为或. 18．解：（1）设，由题意得，两边平方并整理得， 故曲线的轨迹方程为； （2）曲线：是以为圆心，半径为的圆. 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 即，所以，解得， 所以直线的方程为或， 即或. 19．解：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，并设， 则， 所以，从而得； （2）设是平面的法向量，则由及， 得，令，则，则． 显然，为平面的法向量． 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则此二面角的余弦值为． 20．解(1) 设等比数列{}的公比为）， 因为， 解得或（舍去） 数列{}的通项公式. (2) 由（1）可知， 所以等差数列{}的首项， 即， 因为，所以，故. 所以等差数列{}共19项， . 21．解：（1）由点到轴的距离为得：， 将代入得：， 由抛物线的定义得，， 由已知，， 所以， 所以抛物线的方程为； （2）由得， 由题意知与抛物线交于两点， 可设直线的方程为，，， 联立方程，得， 所以，，， 所以 ， 所以， 则 所以为的角平分线， 由角平分线的性质定理，得． 22． 解：（1）由得, 所以过点切线的斜率为 , 因为切线过点,所以 , 解得：. （2）由得， 依题意对区间上的任意实数恒成立， 即对区间上的任意实数恒成立， 易得在区间单调递减， 在上单调递增，，， 所以在上的最大值为， 所以，实数a的取值范围为 （3） 依题意：在上有两个不同的根， 即在上有两个不同的根, 所以，可得， 由于不等式， 可得 又 . 令, 所以，又, 所以，即在区间上严格递减， 所以, 所以.