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浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1、已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2、若复数z满(i为虚数单位),则( )
A. B. C. D.
3、,,则( )
A. B.2 C. D.
4、早在一万多年前的新石器时代,生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器,今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器,现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成,每个圆柱体的底面直径是80cm,每个圆柱体的高为30cm,那么这两个圆柱体的表面积之和为( )
A. B. C. D.
5、已知向量,,则是向量,夹角为钝角的( )
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件 D.充分不必要条件
6、从2至7的6个整数中随机取3个不同的数,则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为( )
A.70% B.65% C.60% D.50%
7、已知,,,则( )
A. B. C. D.
8、定点A和动点P是抛物线上的两点,点B与点A关于x轴对称,其中P与A、B不重合,且P的纵坐标为t,直线,的斜率之差为m,斜率之积为n,当t从小到大变化时,的变化情况是( )
A.先变小后变大 B.先变大后变小 C.一直不变 D.以上情况都不对
二、多项选择题
9、数列的通项为,它的前n项和为,前n项积为,则下列说法正确的是( )
A.数列是递减数列
B.当或者时,有最大值
C.当或者时,有最大值
D.和都没有最小值
10、设点A,B,C,D是曲线上的依次四点,对于四边形,下列可能成立的是( )
A.四边形有三个内角为锐角 B.四边形有三个内角为钝角
C.四边形有且仅有三边相等 D.四边形为非等腰的梯形
11、已知函数的导函数,且,,则( )
A.是函数的一个极大值点
B.
C.函数在处切线的斜率小于零
D.
12、正方体的棱长为1,中心为O,以O为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
三、填空题
13、若,则________.
14、已知,是双曲线两个焦点,P是双曲线上的一点,且,则点P到y轴的距离为_________.
15、已知直线和圆和曲线都经过同一点P,则n的取值范围是_________.
16、函数的最大值为_________.
四、解答题
17、将等差数列排成如图所示的三角形数阵:已知第三行所有数的和为6,第6行第一个数为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数阵中第m行的第一个数,求.
18、如图,在直三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,,D为上的点,过,,D的截面交于E.
(1)证明:;
(2)若二面角的大小为,求几何体的体积.
19、如图,在中,点D在边上,.
(1)证明:;
(2)若,,求.
20、某校高一(1)班总共50人,现随机抽取7位学生作为一个样本,得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间(单位:h)及他们的政治原始成绩(单位:分)如下表:
复习时间t
2
3
5
6
8
12
16
考试分数y
60
69
78
81
85
90
92
甲同学通过画出散点图,发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近,似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程,但是当他以经验回归直线为参照,发现这个经验回归方程不足之处,这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围,成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征,根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近,甲同学回顾已有函数知识,可以发现函数具有类似特征中,因此,甲同学作变换,得到新的数据,重新画出散点图,发现y与x之间有很强的线性相关,并根据以上数据建立y与x之间的线性经验回归方程.
考前一周复习投入时间(单位:h)
政治成绩
合计
优秀
不优秀
h
h
合计
50
(1)预测当时该班学生政治学科成绩(精确到小数点后1位);
(2)经统计,该班共有25人政治成绩不低于85分,评定为优秀,而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人,除去抽走的7位学生,剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人,请填写下面的列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.
附:,,,,,
,,
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
21、已知椭圆C:的长轴为4,离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,过点的直线l与C交于A,B,过A,B作直线:的垂线,垂足分别为M,N,记,,的面积分别为,,,问:是否存在实数t,使得为定值?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
22、已知函数,.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)设,证明:曲线与曲线有两条公切线.
参考答案
1、答案:A
解析:,
或,
所以或,
故选:A.
2、答案:B
解析:解:因为,所以,则.
故选:B.
3、答案:A
解析:由得,,
则,
又,,
则,
,
故选:A.
4、答案:D
解析:解:由题意可得一个石磨底面积为:,
,
所以一个石磨的表面积为:,
所以两个石磨的表面积为:.
故选:D.
5、答案:C
解析:因为,,
又因为向量,夹角为钝角,
所以满足,
所以且,
因为推不出且,所以充分性不成立,
又因为且能推出,所以必要性成立,
所以是向量,夹角为钝角的必要不充分条件,
故选:C.
6、答案:B
解析:6个整数中取3个不同的数,共有种情况,
三个数作为边长可构成三角形的有,,,,,,,,,,,,共有13种情况,
所以概率为,
故选:B.
7、答案:D
解析:因为,,
所以,
因为,
,
所以.
故选:D.
8、答案:C
解析:设,,,(,),
则,,
则,则,
则当t从小到大变化时,的变化情况是一直不变.
故选:C.
9、答案:ABC
解析:因为数列的通项为,则,所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,因为公差,所以数列是递减数列,故选项A正确;
因为,当时,;当时,,因为,所以当或者时,有最大值,故选项B正确;
由可知:,,,所以当或者时,有最大值,故选项C正确;
根据数列前30项为正数,从第31项开始为负数可知:无最小值,
因为,当时,,但零乘任何数仍得零,所以有最小值0,故选项D错误,
故选:ABC.
10、答案:ABCD
解析:曲线为椭圆,点A,B,C,D是椭圆上的依次四点.
取,,,,如图所示,
四边形中为钝角,其余三个内角为锐角,A选项正确;
取,,,,如图所示,
四边形中为锐角,其余三个内角为钝角,B选项正确;
取,以A为圆心,2为半径作弧,与椭圆在第一象限相交于点D,在第四象限相交于点B,D为圆心,2为半径作弧,与椭圆在第一象限相交于点C,如图所示,
则四边形中,,有且仅有三边相等,C选项正确;
直线与椭圆相交于A,B两点,直线与椭圆相交于C,D两点,如图所示,
则,,四边形为非等腰的梯形,D选项正确.
故选:ABCD.
11、答案:AB
解析:令,解得,则在上单调递增,
令,解得或,则在,上单调递减,
故是函数的一个极大值点,,A、B正确;
,则,故函数在处切线的斜率大于零,C错误;
又,则,但无法确定函数值的正负,D错误;
故选:AB.
12、答案:BC
解析:由题意可知:四面体为正四面体,设球O的半径为R;
正方体棱长为1,正四面体的棱长为,
设球心O到正四面体各个面的距离为d,
正四面体体积,表面积,;
①若正四面体的一个面截球如图所示,
设小圆半径为r,则,解得:,
,解得:;
②若正四面体的一个面截图如图所示,
每个面截球所得的曲线长为,的长为,
设小圆半径为r,为正四面体侧面的中心,E为中点,
,,又,
,,
令,,
恒成立,在上单调递增,
又,,
,解得:;
综上所述:球O的半径为或.
故选:BC.
13、答案:729
解析:因为的展开式的通项,
所以含x的奇数次项的系数为负数,含x的偶数次项的系数为正数,
在中,
令可得:,
即,
故答案为:729.
14、答案:
解析:由双曲线方程可得:,,在中,由余弦定理可得:
,
即,解得:,
设点,则,
即,解得:,将点代入双曲线方程可得:,
也即点P到y轴的距离为,
故答案为:.
15、答案:
解析:联立,消去y得,
则,解得.
解方程得,
①当时,或,
当时,,,;
当时,,,;
②当时,,当时,,,
此时.
由于直线和圆和曲线均关于对称,所以根据对称性,只需计算点即可.
综上:n的取值范围是.
故答案为:.
16、答案:8
解析:由题意得:,解得:,
当时,,
当,即时取等号,
当时,,当时取等号,
当时,,
当,即时取等号,
因为,所以最大值为8.
故答案为:8.
17、答案:(1)
(2)
解析:(1)设等差数列首项为,公差为d.
由第三行所有数的和为6可得:,得.
由第6行第一个数为知,
则,
得数列的通项公式为,.
(2)由图可得,第m行有m个数字,则第m行的第一个数为第k项,
其中.
则.
,
则
.
18、答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)由题:,
因为平面,平面,
所以平面,
又平面,且平面平面,
所以.
(2)过B作的垂线,垂足为F,连接,
因为平面,平面,
所以,
因为,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以,
所以就是二面角的平面角,即有,
又,所以,
底面是边长为2的正三角形,取AB的中点G,连接CG,交AE于点H,则,
且,,故,
所以,,,
因为,所以,,E,D四点共线,
又,不平行,故,相交,且由公理可知交点必定在上,
所以几何体是三棱台,
因为,所以三棱台的高,
所以几何体的体积为
.
19、答案:(1)证明见解析
(2)
解析:(1)在中,由正弦定理知:,
即,
又,
可得,
在中,所以,所以.
(2)不妨设,则,
在中,由余弦定理知;,
在中同理可知:,
在中,,
即有,
解得.
20、答案:(1)51.9分
(2)表格见解析,认为政治成绩与考前一周复习时间有关,此推断犯错误的概率不超过0.001
解析:(1),
,
所以,且,
所以预测当时,,
即该班学生政治学科成绩约为51.9分.
(2)列联表:
考前一周复习投入时间(单位:h)
政治成绩
合计
优秀
不优秀
h
23
7
30
h
2
18
20
合计
25
25
50
零假设为:认为政治成绩与考前一周复习时间无关,
,
依据的独立性检验,推断不成立,
即认为政治成绩与考前一周复习时间有关,此推断犯错误的概率不超过0.001.
21、答案:(1)
(2)时,定值,理由见解析
解析:(1)因为椭圆C:的长轴为4,离心率为,
所以,解得,,
故,
所以椭圆C的方程为.
(2)设,,:,
则,,,
则①,
联立与,消去x得,
则,得,
代入①得,
则当即时,为定值.
22、答案:(1)0
(2)证明见解析
解析:(1)解:令,
则,,
易知在R上单调递增,且,
所以时,
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