浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1、已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2、若复数z满(i为虚数单位)，则( ) A. B. C. D. 3、，，则( ) A. B.2 C. D. 4、早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为( ) A. B. C. D. 5、已知向量，，则是向量，夹角为钝角的( ) A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 6、从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为( ) A.70% B.65% C.60% D.50% 7、已知，，，则( ) A. B. C. D. 8、定点A和动点P是抛物线上的两点，点B与点A关于x轴对称，其中P与A、B不重合，且P的纵坐标为t，直线，的斜率之差为m，斜率之积为n，当t从小到大变化时，的变化情况是( ) A.先变小后变大 B.先变大后变小 C.一直不变 D.以上情况都不对 二、多项选择题 9、数列的通项为，它的前n项和为，前n项积为，则下列说法正确的是( ) A.数列是递减数列 B.当或者时，有最大值 C.当或者时，有最大值 D.和都没有最小值 10、设点A，B，C，D是曲线上的依次四点，对于四边形，下列可能成立的是( ) A.四边形有三个内角为锐角 B.四边形有三个内角为钝角 C.四边形有且仅有三边相等 D.四边形为非等腰的梯形 11、已知函数的导函数，且，，则( ) A.是函数的一个极大值点 B. C.函数在处切线的斜率小于零 D. 12、正方体的棱长为1，中心为O，以O为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球O的半径为( ) A. B. C. D. 三、填空题 13、若，则________. 14、已知，是双曲线两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则点P到y轴的距离为_________. 15、已知直线和圆和曲线都经过同一点P，则n的取值范围是_________. 16、函数的最大值为_________. 四、解答题 17、将等差数列排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为. (1)求数列的通项公式； (2)设为数阵中第m行的第一个数，求. 18、如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，D为上的点，过，，D的截面交于E. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求几何体的体积. 19、如图，在中，点D在边上，. (1)证明：； (2)若，，求. 20、某校高一(1)班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间(单位：h)及他们的政治原始成绩(单位：分)如下表： 复习时间t 2 3 5 6 8 12 16 考试分数y 60 69 78 81 85 90 92 甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现y与x之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立y与x之间的线性经验回归方程. 考前一周复习投入时间(单位：h) 政治成绩 合计 优秀 不优秀 h h 合计 50 (1)预测当时该班学生政治学科成绩(精确到小数点后1位)； (2)经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关. 附：，，，，， ，， 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 21、已知椭圆C：的长轴为4，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，过点的直线l与C交于A，B，过A，B作直线：的垂线，垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 22、已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)设，证明：曲线与曲线有两条公切线. 参考答案 1、答案：A 解析：， 或， 所以或， 故选：A. 2、答案：B 解析：解：因为，所以，则. 故选：B. 3、答案：A 解析：由得，， 则， 又，， 则， ， 故选：A. 4、答案：D 解析：解：由题意可得一个石磨底面积为：， ， 所以一个石磨的表面积为：， 所以两个石磨的表面积为：. 故选：D. 5、答案：C 解析：因为，， 又因为向量，夹角为钝角， 所以满足， 所以且， 因为推不出且，所以充分性不成立， 又因为且能推出，所以必要性成立， 所以是向量，夹角为钝角的必要不充分条件， 故选：C. 6、答案：B 解析：6个整数中取3个不同的数，共有种情况， 三个数作为边长可构成三角形的有，，，，，，，，，，，，共有13种情况， 所以概率为， 故选：B. 7、答案：D 解析：因为，， 所以， 因为， ， 所以. 故选：D. 8、答案：C 解析：设，，，(，)， 则，， 则，则， 则当t从小到大变化时，的变化情况是一直不变. 故选：C. 9、答案：ABC 解析：因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项A正确； 因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项B正确； 由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项C正确； 根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值， 因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值0，故选项D错误， 故选：ABC. 10、答案：ABCD 解析：曲线为椭圆，点A，B，C，D是椭圆上的依次四点. 取，，，，如图所示， 四边形中为钝角，其余三个内角为锐角，A选项正确； 取，，，，如图所示， 四边形中为锐角，其余三个内角为钝角，B选项正确； 取，以A为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点D，在第四象限相交于点B，D为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点C，如图所示， 则四边形中，，有且仅有三边相等，C选项正确； 直线与椭圆相交于A，B两点，直线与椭圆相交于C，D两点，如图所示， 则，，四边形为非等腰的梯形，D选项正确. 故选：ABCD. 11、答案：AB 解析：令，解得，则在上单调递增， 令，解得或，则在，上单调递减， 故是函数的一个极大值点，，A、B正确； ，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误； 又，则，但无法确定函数值的正负，D错误； 故选：AB. 12、答案：BC 解析：由题意可知：四面体为正四面体，设球O的半径为R； 正方体棱长为1，正四面体的棱长为， 设球心O到正四面体各个面的距离为d， 正四面体体积，表面积，； ①若正四面体的一个面截球如图所示， 设小圆半径为r，则，解得：， ，解得：； ②若正四面体的一个面截图如图所示， 每个面截球所得的曲线长为，的长为， 设小圆半径为r，为正四面体侧面的中心，E为中点， ，，又， ，， 令，， 恒成立，在上单调递增， 又，， ，解得：； 综上所述：球O的半径为或. 故选：BC. 13、答案：729 解析：因为的展开式的通项， 所以含x的奇数次项的系数为负数，含x的偶数次项的系数为正数， 在中， 令可得：， 即， 故答案为：729. 14、答案： 解析：由双曲线方程可得：，，在中，由余弦定理可得： ， 即，解得：， 设点，则， 即，解得：，将点代入双曲线方程可得：， 也即点P到y轴的距离为， 故答案为：. 15、答案： 解析：联立，消去y得， 则，解得. 解方程得， ①当时，或， 当时，，，； 当时，，，； ②当时，，当时，，， 此时. 由于直线和圆和曲线均关于对称，所以根据对称性，只需计算点即可. 综上：n的取值范围是. 故答案为：. 16、答案：8 解析：由题意得：，解得：， 当时，， 当，即时取等号， 当时，，当时取等号， 当时，， 当，即时取等号， 因为，所以最大值为8. 故答案为：8. 17、答案：(1) (2) 解析：(1)设等差数列首项为，公差为d. 由第三行所有数的和为6可得：，得. 由第6行第一个数为知， 则， 得数列的通项公式为，. (2)由图可得，第m行有m个数字，则第m行的第一个数为第k项， 其中. 则. ， 则 . 18、答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)由题：， 因为平面，平面， 所以平面， 又平面，且平面平面， 所以. (2)过B作的垂线，垂足为F，连接， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以就是二面角的平面角，即有， 又，所以， 底面是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则， 且，，故， 所以，，， 因为，所以，，E，D四点共线， 又，不平行，故，相交，且由公理可知交点必定在上， 所以几何体是三棱台， 因为，所以三棱台的高， 所以几何体的体积为 . 19、答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)在中，由正弦定理知：， 即， 又， 可得， 在中，所以，所以. (2)不妨设，则， 在中，由余弦定理知；， 在中同理可知：， 在中，， 即有， 解得. 20、答案：(1)51.9分 (2)表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001 解析：(1)， ， 所以，且， 所以预测当时，， 即该班学生政治学科成绩约为51.9分. (2)列联表： 考前一周复习投入时间(单位：h) 政治成绩 合计 优秀 不优秀 h 23 7 30 h 2 18 20 合计 25 25 50 零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关， ， 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 21、答案：(1) (2)时，定值，理由见解析 解析：(1)因为椭圆C：的长轴为4，离心率为， 所以，解得，， 故， 所以椭圆C的方程为. (2)设，，：， 则，，， 则①， 联立与，消去x得， 则，得， 代入①得， 则当即时，为定值. 22、答案：(1)0 (2)证明见解析 解析：(1)解：令， 则，， 易知在R上单调递增，且， 所以时，