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2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
2．sin 30°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么此时高为18米的旗杆的影长为（ ）
A．20米 B．30米 C．16米 D．15米
4．如图所示,在平面直角坐标系中,有两点A(4,2),B(3,0),以原点为位似中心,A'B'与AB的相似比为,得到线段A'B'.正确的画法是( )
A． B． C． D．
5．如果x=4是一元二次方程x²－3x=a²的一个根，则常数a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
8．如图，点A，B，C，D都在上，OA⊥BC，∠AOB=40°，则∠CDA的度数为( )
A．40° B．30° C．20° D．15°
9． “汽车行驶到有交通信号灯的路口时，前方恰好遇到绿灯”，这个事件是（ ）
A．确定事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件
10．如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则
A．5 B．7 C．9 D．11
11．甲从标有1，2，3，4的4张卡片中任抽1张，然后放回.乙再从中任抽1张，两人抽到的标号的和是2的倍数的（包括2）概率是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（﹣1，﹣1），C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y＝﹣上，过D作DE∥x轴交双曲线于E，连接CE，则△CDE的面积为（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知抛物线经过点、，那么此抛物线的对称轴是___________．
14．已知二次函数y=-x2+2x+5，当x________时，y随x的增大而增大
15．若，且，则的值是______．
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BD，∠BDA=45°，BC=2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为___．
17．如图，点P在函数y＝的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为4，则k等于_____．
18．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
20．（8分）如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：
（1）三面涂有颜色的概率；
（2）两面涂有颜色的概率；
（3）各个面都没有颜色的概率．
21．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元．
（1）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？
（2）若商场要获得最大利润，则应上涨多少元？
22．（10分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝1．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
23．（10分）梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠2016年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2018年达到25万亩.按这两年的平均增长率，请估计2019年该沙漠梭梭树的面积.
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
25．（12分）其中A代表湘江源，B代表百叠岭，C代表塔下寺，D代表三分石．
（1）请你设计一种较好的方式（统计图），表示以上数据；
（2）同学们最喜欢去的地点是哪里？
26．已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝，
∴sinB＝＝
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2、B
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行选择.
【详解】sin 30°=，
故选：B.
【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
3、B
【分析】设此时高为18米的旗杆的影长为xm，利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列出比例式，进而即可求解．
【详解】设此时高为18米的旗杆的影长为xm，
根据题意得：=，
解得：x=30，
∴此时高为18米的旗杆的影长为30m．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理，是解题的关键．
4、D
【分析】根据题意分两种情况画出满足题意的线段A′B′，即可做出判断．
【详解】解：画出图形，如图所示：
故选D．
【点睛】
此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
5、C
【分析】把x＝4代入原方程得关于a的一元一次方程，从而得解.
【详解】把x＝4代入方程
可得16-12=，
解得a=±2，
故选C．
考点：一元二次方程的根．
6、A
【解析】作AD⊥BC，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解.
【详解】
作AD⊥BC于点D，
则AD=5，BD=5，
∴AB===5，
∴cos∠B=== .
故选A .
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义.
7、C
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝1
∴（x﹣1）2＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查利用配方法将一元二次方程变形，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键.
8、C
【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到，然后根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵OA⊥BC，
∴，
∴∠ADC=∠AOB=×40°=20°．
故选：C.
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
9、B
【分析】直接利用随机事件的定义分析得出答案．
【详解】解：“汽车行驶到有交通信号灯的路口时，前方恰好遇到绿灯”，这个事件是随机事件．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．
10、A
【详解】试题分析：已知⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，由垂径定理可得AN=BN=12，再由勾股定理可得ON=5，故答案选A.
考点：垂径定理；勾股定理.
11、A
【分析】首先列举出所有可能的情况，然后根据概率公式求解即可.
【详解】根据题意，列出所有情况，如下：
甲
乙
1
2
3
4
1
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
（3,4）
4
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
标号的和是2的倍数的（包括2）的情况共有8种
∴其概率为
故选：A.
【点睛】
此题主要考查对概率的求解，熟练掌握，即可解题.
12、B
【分析】作辅助线，构建全等三角形：过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，证明△AHD≌△DMC≌△BGA，设A(x，﹣)，结合点B 的坐标表示：BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，由HQ＝CM，列方程，可得x的值，进而根据三角形面积公式可得结论．
【详解】过A作GH⊥x轴，过B作BG⊥GH，过C作CM⊥ED于M，
设A(x，﹣)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAG=∠ADH=∠DCM，
∴△AHD≌△DMC≌△BGA（AAS），
∴BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x，
∴AG＝CM＝DH＝1﹣，
∵AH+AQ＝CM，
∴1﹣＝﹣﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2，
∴A(﹣2，2)，CM＝AG＝DH＝1﹣＝3，
∵BG＝AH＝DM＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为3，
把y＝3代入y＝﹣得：x＝﹣，
∴E(﹣，3)，
∴EH＝2﹣＝，
∴DE＝DH﹣HE＝3﹣＝，
∴S△CDE＝DE•CM＝××3＝．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象和性质与几何图形的综合，掌握“一线三垂直”模型是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、直线
【分析】根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵点、的纵坐标都是5相同，
∴抛物线的对称轴为直线．
故答案为：直线．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．
14、x<1
【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案．
【详解】解：∵y=-x2+2x+5=-（x-1）2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故答案为：＜1．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
15、-20 ；
【分析】由比例的性质得到，从而求出a和b+c的值，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质，正确得到，．
16、
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