资源描述
2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题(每题4分,共48分)
1.在中,,,则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图,已知一次函数 y=kx-2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,与反比例函数的图象交于点 C,且 AB=AC,则 k 的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是
A.55° B.60° C.65° D.70°
4.如图,将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置,其中∠C=90°,使得点C′与△ABC的内心重合,已知AC=4,BC=3,则阴影部分的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,G,F分别为AD、BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.某单行道路的路口,只能直行或右转,任意一辆车通过路口时直行或右转的概率相同.有3辆车通过路口.恰好有2辆车直行的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图,在中,,,,将绕点顺时针旋转度得到,当点的对应点恰好落在边上时,则的长为( )
A.1.6 B.1.8 C.2 D.2.6
8.如图,点D在△ABC的边AC上,要判断△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是( )
A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C. D.
9.如图,点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点.设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象大致形状是( )
A. B. C. D.
10.若(、均不为0),则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
11.如图,在4×4的正方形方格中,和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上,则的值为( )
A. B. C. D.3
12.二次函数y=a(x+k)2+k,无论k为何实数,其图象的顶点都在( )
A.直线y=x上 B.直线y=﹣x上 C.x轴上 D.y轴上
二、填空题(每题4分,共24分)
13.如图,抛物线y=﹣x2+mx+2m2(m>0)与x轴交于A,B两点,点A在点B的左边,C是抛物线上一个动点(点C与点A,B不重合),D是OC的中点,连结BD并延长,交AC于点E,则的值是_____________.
14.函数和在第一象限内的图象如图,点是的图象上一动点,轴于点,交的图象于点;轴于点,交的图象于点,则四边形的面积为______.
15.已知点是线段的一个黄金分割点,且,,那么__________.
16.如图,∠AOB=90°,且OA、OB分别与反比例函数、的图象交于A、B两点,则tan∠OAB的值是______.
17.若一个正六边形的周长为24,则该正六边形的面积为 ▲ .
18.小莉身高,在阳光下的影子长为,在同一时刻站在阳光下,小林的影长比小莉长,则小林的身高为_________.
三、解答题(共78分)
19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+4k﹣3=0,
(1)求证:无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根?
(2)当Rt△ABC的斜边a=,且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时,求k的值.
20.(8分)如图,已知在△ABC中,AD是∠BAC平分线,点E在AC边上,且∠AED=∠ADB.
求证:(1)△ABD∽△ADE; (2)AD2=AB·AE.
21.(8分)解方程:x2﹣x=3﹣x2
22.(10分)已知二次函数(m 为常数).
(1)证明:不论 m 为何值,该函数的图像与 x 轴总有两个公共点;
(2)当 m 的值改变时,该函数的图像与 x 轴两个公共点之间的距离是否改变?若不变, 请求出距离;若改变,请说明理由.
23.(10分)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于两点,点为抛物线的顶点,为线段中点.
(1)求的值;
(2)求证:;
(3)以抛物线的顶点为圆心,为半径作,点是圆上一动点,点为的中点(如图2);
①当面积最大时,求的长度;
②若点为的中点,求点运动的路径长.
24.(10分)如图所示,AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高,求证:.
25.(12分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,求点D的坐标;
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标;
26.如图,在平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内,E是BC中点,OF⊥DE于点F,连结OE,动点P在AO上从点A向终点O匀速运动,同时,动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动,它们同时到达终点.
(1)求点B的坐标和OE的长;
(2)设点Q2为(m,n),当tan∠EOF时,求点Q2的坐标;
(3)根据(2)的条件,当点P运动到AO中点时,点Q恰好与点C重合.
①延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时,设Q3Q=s,AP=t,求s关于t的函数表达式.
②当PQ与△OEF的一边平行时,求所有满足条件的AP的长.
参考答案
一、选择题(每题4分,共48分)
1、D
【分析】在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°,根据互余两角的三角函数的关系就可以求解.
【详解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=90°,
则cosB=sinA=.
故选:D.
【点睛】
本题考查了互余两角三角函数的关系,在直角三角形中,互为余角的两角的互余函数相等.
2、B
【分析】如图所示,作CD⊥x轴于点D,根据AB=AC,证明△BAO≌△CAD(AAS),根据一次函数解析式表达出BO=CD=2,OA=AD=,从而表达出点C的坐标,代入反比例函数解析式即可解答.
【详解】解:如图所示,作CD⊥x轴于点D,
∴∠CDA=∠BOA=90°,
∵∠BAO=∠CAD,AB=AC,
∴△BAO≌△CAD(AAS),
∴BO=CD,
对于一次函数 y=kx-2,
当x=0时,y=-2,当y=0时,x=,
∴BO=CD=2,OA=AD=,
∴OD=
∴点C(,2),
∵点C在反比例函数的图象上,
∴,解得k=2,
故选:B.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,全等三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征,难度适中.表达出C点的坐标是解题的关键.
3、C
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可.
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.
∴∠DCE=∠ACB=20°,∠BCD=∠ACE=90°,AC=CE,
∴∠ACD=90°-20°=70°,
∵点A,D,E在同一条直线上,
∴∠ADC+∠EDC=180°,
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°,
∴∠ADC=∠E+20°,
∵∠ACE=90°,AC=CE
∴∠DAC+∠E=90°,∠E=∠DAC=45°
在△ADC中,∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°,
即45°+70°+∠ADC=180°,
解得:∠ADC=65°,
故选C.
【点睛】
此题考查旋转的性质,关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答.
4、A
【分析】由三角形面积公式可求C'E的长,由相似三角形的性质可求解.
【详解】解:如图,过点C'作C'E⊥AB,C'G⊥AC,C'H⊥BC,并延长C'E交A'B'于点F,连接AC',BC',CC',
∵点C'与△ABC的内心重合,C'E⊥AB,C'G⊥AC,C'H⊥BC,
∴C'E=C'G=C'H,
∵S△ABC=S△AC'C+S△AC'B+S△BC'C,
∴AC×BC=AC×CC'+BA×C'E+BC×C'H
∴C'E=1,
∵将Rt△ABC平移到△A'B'C'的位置,
∴AB∥A'B',AB=A'B',A'C'=AC=4,B'C'=BC=3
∴C'F⊥A'B',A'B'=5,
∴A'C'×B'C'=A'B'×C'F,
∴C'F=,
∵AB∥A'B'
∴△C'MN∽△C'A'B',
∴C阴影部分=C△C'A'B'×=(5+3+4)×=5.
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆和内心,相似三角形的判定和性质,熟练运用相似三角形的性质是本题的关键.
5、B
【解析】∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,
∴∠AGE+∠AEG=90°,∠BFE+∠FEB=90°,
∵∠GEF=90°,
∴∠GEA+∠FEB=90°,
∴∠AGE=∠FEB,∠AEG=∠EFB,
∴△AEG∽△BFE,
∴,
又∵AE=BE,
∴AE2=AG•BF=2,
∴AE=(舍负),
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9,
∴GF的长为3,
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用,利用勾股定理即可得解,解题的关键是证明△AEG∽△BFE.
6、B
【分析】用表示直行、表示右转,画出树状图表示出所有的种等可能的结果,其中恰好有辆车直行占种,然后根据概率公式求解即可.
【详解】解:若用表示直行、表示右转,则画树状图如下:
∵共有种等可能的结果,其中恰好有辆车直行占种
∴(恰好辆车直行).
故选:B
【点睛】
此题考查的是用树状图法求概率.注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件;注意概率等于所求情况数与总情况数之比.
7、A
【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上,可得AD=AB,又由∠B=60°,可证得△ABD是等边三角形,继而可得BD=AB=2,则可求得答案.
【详解】由旋转的性质可知,,
∵,,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
故选A.
【点睛】
此题考查旋转的性质,解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB
8、C
【分析】由∠A是公共角,利用有两角对应相等的三角形相似,即可得A与B正确;又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可得D正确,继而求得答案,注意排除法在解选择题中的应用.
【详解】∵∠A是公共角,
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时,△ADB∽△ABC(有两角对应相等的三角形相似),故A与B正确,不符合题意要求;
当AB:AD=AC:AB时,△ADB∽△ABC(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似),故D正确,不符合题意要求;
AB:BD=CB:AC时,∠A不是夹角,故不能判定△ADB与△ABC相似,故C错误,符合题意
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