重庆垫江县第七中学高三数学理月考试卷含解析

重庆垫江县第七中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，，则A的取值范围是（ ▲ ） （A）          （B）     （C）          （D） 参考答案： C 2. 复数等于 A. B. C. D. 参考答案： B 略 3. 已知函数,若是函数的零点,且,则的值                                                                    (     ) Ａ.  恒为正值        Ｂ. 等于0         C.  恒为负值      D.不大于0 参考答案： A 4. 函数y＝x＋cosx的大致图象是(　　) 参考答案： B 5. 在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【解答】解：不等式组所表示的平面区域位于 直线x+y﹣3=0的下方区域和直线 x﹣y+1=0的上方区域， 根据目标函数的几何意义， 可知目标函数经过A时，z取得最大值． 由可得A（1，2）， 所以目标函数z的最大值为4． 故选B． 【点评】本题主要考查线性规划问题．画出可行域判断目标函数的几何意义是解题的关键． 6. 函数的定义域是 (    ) A．       B．    C．      D． 参考答案： D 知识点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 解析：要使函数有意义，需,即0≤x＜1 故函数的定义域为,故选D． 【思路点拨】令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x的范围即为定义域． 7. 若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（   ） A．    B．   C．     D． 参考答案： A 略 8. 设定义域为的函数满足以下条件；①对任意； ②对任意.则以下不等式一定成立的是         ①                                                        ②         ③                                            ④   A. ①③          B. ②④        C.  ①④          D. ②③ 参考答案： B 由①知，所以函数为奇函数。由②知函数在上单调递增。因为，所以，即②成立。排除AC.因为，所以，又，所以 ，因为函数在在上单调递增，所以在上也单调递增，所以有成立，即④也成立，所以选B. 9. 当x>3时，不等式x+≥恒成立，则实数的取值范围是（     ） A．(－∞,3] B．[3,+∞) C．[,+∞) D．(－∞, ] 参考答案： D 略 10. 已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2an=39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（　　） A．637 B．559 C．481+25 D．492+24 参考答案： C 【考点】8E：数列的求和；7F：基本不等式． 【分析】由已知条件推导出a1=1，a3=39，a5=1，a7=39，…，a47=39，a49=1，a2a4=39，所以a2+a4，当且仅当时取等号，故当偶数项都是时，S50取最小值，由此能求出S50的最小值． 【解答】解：∵各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2an=39（n∈N*）， ∴a1=1，a3=39，a5=1，a7=39，…，a47=39，a49=1， a2a4=39，∴a2+a4，当且仅当时取等号， ∴当偶数项都是时，S50取最小值， ∴（S50）min=12×（1+39）+1+25=481+25． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若数列的通项公式为，则         ． 参考答案： 因为，所以,，所以。 12. 已知函数是上的奇函数，且时，，则=       . 参考答案： 13. 函数y=loga（x+3）﹣1（a≠1，a＞0）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为　  　． 参考答案： 8 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可． 【解答】解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1， ∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1）， ∵点A在直线mx+ny+1=0上， ∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1， ∵m＞0，n＞0， ∴+=（+）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8， 当且仅当m=，n=时取等号． 故答案为：8 14. 若等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，BC=，∠ABC=45°，则?的值为　　． 参考答案： ﹣3 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据已知条件及向量的加法： =，而要求只需知道向量的夹角，而通过过D作BC的平行线，根据已知的角即可求出的夹角，这样即可求得答案． 【解答】解：如图， = =； 过D作DE∥BC，根据已知条件，∠ADC=135°，∠EDC=45°； ∴∠ADE=90°； ∴； ∴． 故答案为：﹣3． 15. 已知是实数，是纯虚数，则__________ 参考答案： 1 16. 复数____________。 参考答案：   17. 若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是____. 参考答案： 设，则，若，则函数递增，要使函数在上是单调增函数，则有递增，所以有，即，所以。若，则函数递减，要使函数在上是单调增函数，则有递减，所以有，即，解得。所以实数的取值范围是或。即。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）设分别是椭圆：的左、右焦点，过倾斜角为的直线与该椭圆相交于P，两点，且. （Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设点满足，求该椭圆的方程。 参考答案： 解：（Ⅰ）直线斜率为1，设直线的方程为，其中.…………2分 设，则两点坐标满足方程组 化简得，则， 因为，所以.………………6分 得，故， 所以椭圆的离心率. ……………………8分 （Ⅱ）设的中点为，由（1）知 由得.  ……………………10分 即，得，从而.故椭圆的方程为…………12分   略 19. 选修4﹣5：不等式选讲 已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论． （Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2 ∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． ∴当a≤0时，不合题意； 当a＞0时，， ∴a=2； （Ⅱ）记， ∴h（x）= ∴|h（x）|≤1 ∵恒成立， ∴k≥1． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题． 20. 已知定义在R上的函数． (1）判断函数的奇偶性； (2）证明在上是减函数； (3）若方程在上有解，求的取值范围？ 参考答案： （1） 因为定义域为R,且，所以函数为偶函数             (2）证明 所以在（0,1）上是减函数 。    (3） 当时，函数单调递减， 又因为是偶函数，所以当时，                         所以当时，方程在（-1,1）上有解。 21. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB． （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB； （Ⅱ）求证：PD∥平面EAC； （Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】（Ⅰ）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB． （Ⅱ）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC． （Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AEC、平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD， ∴PA⊥BC． 又AB⊥BC，PA∩AB=A， ∴BC⊥平面PAB． 又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．… （Ⅱ）证明：∵PC⊥AD， ∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=， ∴∠DCA=∠BAC=， 又AC⊥AD， 故△DAC为等腰直角三角形， ∴DC=AC=（AB）=2AB． 连接BD，交AC于点M，则==2． 连接EM，在△BPD中， ==2，∴PD∥EM， 又PD?/平面EAC，EM?平面EAC， ∴PD∥平面EAC．… （Ⅲ）解：以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1） 设=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则⊥，⊥， ∵=（3，3，0），=（0，2，1）， ∴解得x=，y=﹣， ∴=（，﹣，1）． 设=（x′，y′，1）为平面PBC的一个法向量，则⊥，⊥， 又=（3，0，0），=（0，﹣3，3）， ∴， 解得x′=0，y′=1， ∴=（0，1，1）． （取PB中点为F，连接AF可证为平面PBC的一个法向量．） ∵cos＜，＞=|=， ∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..… 注：以其他方式建系的参照给分． 22. 若关于x的不等式在实数范围内有解. （Ⅰ）求实数t的取值范围； （Ⅱ）若实数t的最大值为a，且正实数m，n，p满足，求证：. 参考答案： （Ⅰ） （Ⅱ）见证明 【分析】 （Ⅰ）不等式在实数范围内有解，也即成立，求出最大值即可； （Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式来证明. 【详解】解：（Ⅰ）因为所以 又因为 所以 （Ⅱ）由（1）可知，,则 方法一： 方法二：利用柯西不等式 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.