贵州省遵义市九坪中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试题含解析

贵州省遵义市九坪中学2022-2023学年高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x），则下列成立的是（　　） 　 A． e﹣2f（2）＜ef（﹣1）＜f（0） B． ef（﹣1）＜f（0）＜e﹣2f（2） C． ef（﹣1）＜e﹣2f（2）＜f（0） D． e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1） 参考答案： D 因为f′（x）＜f（x），所以得f′（x）﹣f（x）＜0． 构造函数，则， 因为f′（x）﹣f（x）＜0，ex＞0， 所以F'（x）＜0，即函数在定义域上单调递减，所以， 即e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1）． 故选D． 2. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中数字1，2相邻.这样的五位数有         个． 参考答案： 36 略 3. 已知F1、F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆的定义得，所以|AB|+|AF2|+|BF2|=16，由此可求出|AB|的长． 【解答】解：由椭圆的定义得 两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=16， 又因为在△AF1B中，有两边之和是10， 所以第三边的长度为：16﹣10=6 故选A． 4. 已知满足在上恒成立，且 ， 则 A.               B.                      C.                D. 参考答案： B 略 5. 若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 设点，由结合两点间的距离公式得出点P的轨迹方程，将问题转化为双曲线C与点P的轨迹有4个公共点，并将双曲线C的方程与动点P的轨迹方程联立，由得出b的取值范围，可得出答案。 【详解】依题意可得，设，则由， 得，整理得. 由得， 依题意可知，解得， 则双曲线C的虚轴长. 6. “”是“”的 A.充分而不必要条件  B. 必要而不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 7. 已知点在直线上运动，则的最小值是  （  ） A.         B.       C.         D. 18 参考答案： C 8. 若双曲线的离心率为2,则等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 略 9. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是(  ) A.2011      B.2012       C.2013       D.2014 参考答案： B 略 10. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（   ） A.                       B.               C.                  D. 参考答案： D 该试验所有基本事件(a，b)可在平面直角坐标系中表示出来如下图． 易知所有基本事件有5×3＝15个，记“b>a”为事件A，则事件A所含基本事件有3个． ∴P(A)＝＝，故选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，，，则a，b，c的大小关系为__________． 参考答案： 【分析】 利用分析法比较b与c的大小，再同理比较与，与的大小即可． 【详解】，成立， 故； 又， ； 综上知，． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等关系与不等式，突出分析法在比较大小中的应用，属于中档题． 12. 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集。给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集              （1）      （2）        （3）          （4） 的是                  （写出所有凸集相应图形的序号）。 参考答案： ②③ 略 13. 某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 参考答案： 54 【分析】 通过题意可以知道，甲乙两人有一个人可以选三个班，一个人选二个班，丙、丁二人都可以选三个班，根据乘法计数原理，可以求出不同的报名方法种数. 【详解】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为. 【点睛】本题考查了乘法计数原理，正确理解题意是解题的关键，由题意分析出是加法计数原理还是乘法计数原理是解题的难点. 14. 已知点（－3，－1）和（4，－6）在直线3x－2y＋a=0的异侧，则a的取值范围为         。 参考答案： 15. 已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A、B两点，且=3，则双曲线C的离心率的最小值为　 　． 参考答案： 2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据=3，可得3x2﹣x1=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值． 【解答】解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上， 设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0）， ∵=3，∴c﹣x1=3（c﹣x2）， ∴3x2﹣x1=2c． ∵x1≤﹣a，x2≥a，∴3x2﹣x1≥4a， ∴2c≥4a，∴e=≥2， ∴双曲线离心率的最小值为2， 故答案为：2． 16. 如图所示，将数以斜线作如下分群：（1），（2，3），（4，6，5），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），… 并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…。 1 3 5 7 9 … 2 6 10 14 18 … 4 12 20 28 36 … 8 24 40 56 72 … 16 48 80 112 114 … … … … … … …         ⑴第7群中的第2项是：                 ； ⑵第n群中n个数的和是：                    参考答案： 17. 某同学一个学期内各次数学测验成绩的茎叶图如图所示，则该组数据的中位数是__________． 参考答案： 83 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，被抽取学生的成绩均不低于160分，且低于185分，图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分（每一组均包括左端点数  据而不包括右端点数据），且第3组、第4组、第5组的频数之比依次为3：2：1． （1）请完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩较高的第3组、第4组、第5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生由考官A面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率． 参考答案： 【考点】频率分布直方图；等可能事件的概率． 【分析】（1）由题意知第1，2组的频数分别为：5，35．故第3，4，5组的频数之和为：60，得其频数依次为30，20，10，其频率依次为0.3，0.2，0.1． （2）用分层抽样抽取6人．故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：3，2，1． （3）有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种，因此所求事件的概率为． 【解答】解：（1）由题意知第1，2组的频数分别为：100×0.01×5=5，100×0.07×5=35． 故第3，4，5组的频数之和为：60，从而可得其频数依次为30，20，10， 其频率依次为0.3，0.2，0.1，其频率分布直方图如右图． （2）由第3，4，5组共60人，用分层抽样抽取6人． 故第3，4，5组中应抽取的学生人数依次为：第3组：； 第4组：；第5组：． （3）由（2）知共有6人（记为A1，A2，A3，B1，B2，C）被抽出，其中第4组有2人（记为B1，B2）． 有题意可知：抽取两人作为一组共有15种等可能的情况，其中共有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1）， （A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C），（B2，C）共9种， 因此所求事件的概率为． 19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点． （Ⅰ）证明：AB⊥平面BEF； （Ⅱ）若PA=，求二面角E﹣BD﹣C． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）只需证明AB⊥BF．AB⊥EF即可． （Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系， 求出平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为， 设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则=， 【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，故ABFD是矩形， 从而AB⊥BF． 又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD， ∵AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD， 在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴AB⊥EF． 由此得AB⊥平面BEF… （Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系， 则 设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为， 则  可取 设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ，则=， 所以，… 20. 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=3，F是PD的中点，E是线段AB上的点． （1）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC． （2）当AE：BE=2：1时，求二面角E﹣PC﹣D的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取PC中点G，连结FG，EG，推导出四边形AEGF是平行四边形，从而AF∥EG，由此能证明AF∥平面PEC． （2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的余弦值． 【解答】证明：（1）取PC中点G，连结FG，EG， ∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，F是PD的中点，E是线段AB的中点， ∴FGDC，AEDC，∴FGAE， ∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG， ∵EG?平面PEC，AF?平面PEC， ∴AF∥平面PEC．   解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 由题意得E（2，0，0），P（0，0，1），C（3，1，0），D（0，1，0）， =（3