福建省泉州市吹楼中学高二数学理模拟试题含解析

福建省泉州市吹楼中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是　(　　) A.           B.            C.              D. 参考答案： C 略 2. 已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（　　） A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F（﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程． 【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）． ∵双曲线的一个焦点与抛物y2=﹣4x的焦点重合， ∴双曲线的左焦点为F（﹣1，0）， 设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=1…① ∵双曲线的离心率等，∴=，即…② 由①②联解，得a2=，b2=， ∴该双曲线的方程为5x2﹣=1． 故选B． 【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键． 3. 下列说法中正确的是             （    ） A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题 B．若命题，则； C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件； D．方程有唯一解的充要条件是 参考答案： C 4. 设若的最小值为（    ） A.  8        B.  4        C. 1       D. 参考答案： B 略 5. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段中点到轴的距离为                                   （    ） A.16    B. 6       C.8 D. 4 参考答案： AD 略 6. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（   ） A.相离     B.相切     C. 相交      D. 不确定 参考答案： B 略 7. 已知直线m，n和平面α，下列推理正确的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】A，直线m垂直平面α内一条直线，不能得到直线m垂直平面α； B，m⊥n，n⊥α?m∥α或m?α； C，m⊥α?m垂直α内及与α平行的所有直线； D，若m∥α，n?α，?m∥n或m、n异面． 【解答】解：对于A，直线m垂直平面α内一条直线，不能得到直线m垂直平面α，故错； 对于B，m⊥n，n⊥α?m∥α或m?α，故错； 对于C，m⊥α?m垂直α内及与α平行的所有直线，故正确； 对于D，若m∥α，n?α，?m∥n或m、n异面，故错． 故选：C． 8. 已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=（  ） A、    B、 C、       D、 参考答案： C 略 9. 已知函数在区间(－2,－1)内存在单调递减区间，实数a的取值范围为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据题意求出函数的导数，问题转化为，根据不等式的性质求出a的范围即可． 【详解】， 由题意得， 使得不等式成立， 即时，， 令，， 则， 令，解得：， 令，解得：， 故在递增，在递减， 故， 故满足条件a的范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题． 10. 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交A、B于两点，若，这样的直线有（  ） A.一条      B.两条     C. 三条      D. 四条 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若“”是真命题，则实数m的最小值为____________. 参考答案： 1 试题分析：，，当时，的最大值是1，故，即实数的最小值是1． 考点：全称命题的应用 12. 以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为            参考答案： 13 13. 对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则          ． 参考答案： 2017 由题可得： ，所以对称中心为（ ，1） ，设g(x)上任意一点 ，因为关于（，1）对称，所以P关于其对称的对称点为 在g(x)上，且 所以 ，故 2017 14. 已知函数与的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为,则          参考答案： 2 略 15. 是虚数单位,复数=   ▲    . 参考答案： 2 略 16. 已知函数，则不等式的解集为__________． 参考答案： （－3,2） 【分析】 先判断函数在上单调递增，则不等式等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】因为函数， 时，，且在上递增， 时，，且在上递增， 所以函数在上单调递增， 则不等式等价于， 解得，故答案为. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式与单调性，属于中档题. 解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意判断函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则． 17. 设变量满足约束条件，则目标函数＝2+4的最大值为        . 参考答案： 13 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0． （1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；综合法；简易逻辑． 【分析】分别求出关于p，q的x的范围，根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可． 【解答】解：∵p：x2﹣2x﹣8≤0，∴﹣2≤x≤4， ∵q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0，∴﹣2m≤x≤m； （1）若q是p的必要不充分条件， 则p?q， ∴，（=不同时成立）， 解得：m≥4； （2）若￢p是￢q的充分不必要条件， 则q是p的充分不必要条件， 故（=不同时成立）， 解得：m≤1． 【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题． 19. （12分）如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑道．黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依此类推．一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是．记小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m）=C（）n﹣1． （Ⅰ）求P（4，1），P（4，2）的值； （Ⅱ）已知f（x）=，设小球遇到第6行第m个障碍物（从左至右）上顶点时，得到的分数为ξ=f（m），试求ξ的分布列及数学期望． 参考答案： 20. 已知关于的一次函数 （1）       设集合和,分别从集合和Q中随机取一个数作为和，求函数是增函数的概率； （2）       实数满足条件求函数经过一，二，三象限的概率。 参考答案： 略 21. 已知，分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论． 　 参考答案： ．（6分） 证明如下：f（﹣x）+f（x+1） =+=+ =+== =（10分）．   略 22. 已知直线x﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A，B两点； （1）求线段AB的垂直平分线的方程； （2）若|AB|=2，求m的值； （3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1，可得线段AB的垂直平分线的方程． （2）利用|AB|=2，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求m的值． （3）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为﹣1， ∴方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0； （2）圆x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=﹣m+5， ∵|AB|=2，∴圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线的距离为d==，∴，∴m=1 （3）由题意，知点P（4，4）不在圆上． ①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+4=0．由圆心到切线的距离等于半径，得=2， 解得k=，所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0 ②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4 综上，所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0．