广东省珠海市六乡中学高二数学文下学期期末试卷含解析

广东省珠海市六乡中学高二数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数, 已知在时取得极值, 则 A. 5                    B.  4                  C. 3                   D. 2     参考答案： A 略 2. 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（   ） A．(－∞,－3)         B．(1,+∞)       C．(－1,3)        D．(－3,1) 参考答案： D 3. 直线的倾斜角为 A．                B．             C．                  D． 参考答案： C 4. 若，，，则                   .       .     . 参考答案： B 略 5. 直线的夹角是                                                               （    ） A．   B． C． D． 参考答案： B 6. 已知z（2+i）=1+ai，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则a=（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 参考答案： A 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算性质、纯虚数的定义即可得出． 【解答】解：z（2+i）=1+ai， ∴z（2+i）（2﹣i）=（1+ai）（2﹣i）， ∴z=， 若z为纯虚数，则=0，≠0， a=﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7. 若曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线与y=x﹣1平行，则a=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 参考答案： C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求得f（x）的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值． 【解答】解：f（x）=ax2+x+lnx的导数为f′（x）=2ax++， 曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2a++1=2a+， 由切线与y=x﹣1平行，可得2a+=， 解得a=1． 故选：C． 8. 函数的零点所在的区间可能是   (A)        (B)              (C)             (D) 参考答案： B 9. 点在圆的（    ）． A．内部     B．外部 C．圆上     D．与θ的值有关 参考答案： A 10. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（　　） A．10 B．10    C．10 D．10 参考答案： D 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论． 【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x 在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得， = ∴BC==10 ∴x=10 ∴x= 故塔高AB= 【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为． (1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)求直线与平面的所成角的正弦值． 参考答案： 解： （Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连． 是正三角形，． 又底面侧面，且交线为． 侧面． 连，则直线与侧面所成的角为．   在中，，解得．       此正三棱柱的侧棱长为．                           （Ⅱ）解：过作于，连， 侧面． 为二面角的平面角．  ks5u          在中，，又 ，  ． 又  在中，．                （Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．                      在中，．         为中点，点到平面的距离为．  答案：     12. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为                  参考答案： 或 略 13. 已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为　　． 参考答案： （x﹣2）2+（y﹣2）2=5 【考点】圆的标准方程． 【分析】设圆心坐标为（a，a），利用圆C过点A（1，0）和B（3，0），即可确定圆心与半径，从而可得圆C的标准方程． 【解答】解：设圆心坐标为（a，a），则 ∵圆C过点A（1，0）和B（3，0）， ∴（a﹣1）2+a2=（a﹣3）2+a2， ∴a=2 ∴（a﹣1）2+a2=5 ∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5 14. 在的展开式中，各项系数的和为    　　  ．     参考答案： 15. （5分）（2014?东城区二模）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是　　． 参考答案： 【考点】： 抛物线的简单性质． 【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），由此推导出|OA|=|BF|，由此能求出点A的坐标，从而能求出k的值． 解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1 直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0）， 过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|， ∴点A为BP的中点． 连接OA，则|OA|=|BF|， ∴|OA|=|AF|， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为（，）， 把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0）， 解得k=． 故答案为：． 【点评】： 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用． 16. 几何概率的两个特征： （1）________________________________________________________。  （2）________________________________________________________。 参考答案： （1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示。 （2）每次试验的各种结果是等可能的。   17. 若等比数列{an}满足，则=　　． 参考答案： 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】由等比数列{an}的性质可得： =a1a5=，即可得出． 【解答】解：由等比数列{an}的性质可得： =a1a5=， 则==． 故答案为：． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入，已知研发投入 (十万元)与利润 (百万元)之间有如下对应数据： 2 3 4 5 6 2 4 5 6 7   若由资料知对呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程；    （2）估计时，利润是多少？ 附：利用“最小二乘法”计算a,b的值时,可根据以下公式： 参考答案： （1） ………2分 ，， ， ，， 所以，线性回归方程为 .………7分 （2）当x=10时，y=12，所以利润为1200万元.………10分     19. （12分）已知函数（a为常数）与函数在处的切线互相平行． （1）求函数在[1,2]上的最大值和最小值； （2）求证：函数的图象总在函数图象的上方． 参考答案： （1），，由已知有，解得． 当时，． 令，解得． ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，， ． ∴ 最小值为． 最大值为．                                     （………6分） （2）令，则只须证恒成立即可． ∵． 显然，单调递增（也可再次求导证明之），且． ∴ 时，，单调递减； 时，，单调递增； ∴恒成立，所以得证．                      （………12分）   20. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a?cosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（1）由bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出． （2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出． 【解答】解：（1）∵bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB， ∵sinA≠0，∴sinB=cosB， B∈（0，π）， 可知：cosB≠0，否则矛盾． ∴tanB=，∴B=． （2）∵sinC=2sinA，∴c=2a， 由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB， ∴9=a2+c2﹣ac， 把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=， ∴． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21. (本题10分)已知点P是圆上的动点，过点P作PD轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且DM：DP=3：2；求点M的轨迹方程。 参考答案： 22. 设函数. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在(0,+∞)上有零点，证明：. 参考答案： （1）在上是增函数，在上是减函数； （2）. 【分析】 （1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数 的单调区间； （2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一的零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证 【详解】（1）解：函数的定义域为， 因为，所以． 所以当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以在上是增函数，在上是减函数． （2）证明：由题意可得，当时，有解， 即有解． 令，则． 设函数，所以在上单调递增． 又，所以在上存在唯一的零点． 故在上存在唯一的零点．设此零点为，则． 当时，；当时，． 所以在上的最小值为． 又由，可得，所以， 因为在上有解，所以，即． 【点睛】本题考查了利用导