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广东省云浮市三塘中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知数列为等比数列,且,则的值为( )
参考答案:
C
3. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:由程序框图知,由,,知输出的.故选C.
考点:程序框图
4. 已知函数f(x)=,如果当x>0时,若函数f(x)的图象恒在直线y=kx的下方,则k的取值范围是( )
A.[,] B.[,+∞) C.[,+∞) D.[﹣,]
参考答案:
B
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】由于f(x)的图象和y=kx的图象都过原点,当直线y=kx为y=f(x)的切线时,切点为(0,0),求出f(x)的导数,可得切线的斜率,即可得到切线的方程,结合图象,可得k的范围.
【解答】解:函数f(x)的图象恒在直线y=kx的下方,
由于f(x)的图象和y=kx的图象都过原点,
当直线y=kx为y=f(x)的切线时,切点为(0,0),
由f(x)的导数f′(x)=
=,
可得切线的斜率为=,
可得切线的方程为y=x,
结合图象,可得k≥.
故选:B.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,正确求导和确定原点为切点,结合图象是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.
5. 如图所示为函数的部分图像,其中A,B两点之间的距离为5,那么( )
A.-1 B.
C. D.1
参考答案:
略
6. 若,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
7. 设是定义在R上的奇函数,且当时单调递减,若,则的值 ( )
A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负
参考答案:
A
8. 一物体的运动方程是S=﹣at2(a为常数),则该物体在t=t0时刻的瞬时速度为( )
A.at0 B.﹣at0 C. at0 D.2at0
参考答案:
B
【考点】变化的快慢与变化率.
【分析】求出S与t函数的导函数,把t=t0代入确定出瞬时速度即可.
【解答】解:由S=﹣at2(a为常数),得到S′=﹣at,
则v=S′|t=t0=﹣at0,
故选:B.
9. 已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=
(A){-2,-1,0,1,2,3} (B){-2,-1,0,1,2}
(C){1,2,3} (D){1,2}
参考答案:
D
由x2<9得,-3<x<3,所以B={x|-3<x<3},所以A∩B={1,2},故选D.
10. 若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )
A.x>3 B.x>4 C.x≤4 D.x≤5
参考答案:
B
【考点】EF:程序框图.
【分析】方法一:由题意可知:输出y=2,则由y=log2x输出,需要x>4,则判断框中的条件是x>4,
方法二:采用排除法,分别进行模拟运算,即可求得答案.
【解答】解:方法一:当x=4,输出y=2,则由y=log2x输出,需要x>4,
故选B.
方法二:若空白判断框中的条件x>3,输入x=4,满足4>3,输出y=4+2=6,不满足,故A错误,
若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2,故B正确;
若空白判断框中的条件x≤4,输入x=4,满足4=4,满足x≤4,输出y=4+2=6,不满足,故C错误,
若空白判断框中的条件x≤5,输入x=4,满足4≤5,满足x≤5,输出y=4+2=6,不满足,故D错误,
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,,是半径为的圆的两条弦,它们相交于的中点,若, ,求的长.
参考答案:
略
12. (5分)(2015?济宁一模)某单位用3.2万元购买了一台实验仪器,假设这台仪器从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,若使用这台仪器的日平均费用最少,则一共使用了 天.
参考答案:
800
【考点】: 根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用.
【专题】: 计算题.
【分析】: 因为这台仪器从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为则日平均费用设为f(n),据题意得:
f(n)=利用基本不等式得到f(n)为最小值时n的值即可.
解:日平均费用设为y,据题意得:
f(n)==×=×(n++99)≥×(2+99)当且仅当n=即n=800时取等号.
故答案为:800
【点评】: 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力,及基本不等式在最值问题中的应用能力.
13. 将函数的图像向右平移个单位,再将图像上每一点横坐标缩短到原来的倍,所得图像关于直线对称,则的最小正值为 .
参考答案:
.
14. 已知ΔABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a = 1,2cosC + c = 2b,则ΔABC的周长的取值范围是__________。
参考答案:
略
15. 若实数、,满足,则的取值范围是 .
参考答案:
略
16. 双曲线=1的左右两焦点分别是F1,F2,若点P在双曲线上,且∠F1PF2为锐角,则点P的横坐标的取值范围是 .
参考答案:
(,+∞)∪(﹣∞,﹣)
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠F1PF2为直角时P的坐标,可得∠F1PF2为锐角时点P的横坐标的取值范围
【解答】解:不妨以P在双曲线右支为例
由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,
又|PF1|﹣|PF2|=2,①
两边平方得:|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=4,
∴|PF1||PF2|=6,②
联立①②解得:|PF2|=,
由焦半径公式得|PF2|==ex﹣a,即可得点P的横坐标为,
根据对称性,则点P的横坐标的取值范围是()).
故答案为:是())
17. 已知A(7,1),B(1,4),曲线ax-y=0与线段AB交于C,且,则实数a=___
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,已知直曲线C1 的参数方程为(t为参数a≠0),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ,曲线C1,C2有且只有一个公共点.
(1)求实数a的值;
(2)设点 M 的直角坐标为(a,0),若曲线C1与C3 :(为参数)相交于A , B两个不同的点,求|MA|·|MB|的值
参考答案:
(1)由曲线的参数方程,消去参数,得曲线的平面直角坐标方程为,
根据极坐标与直角坐标的互化公式,得曲线的平面直角坐标方程为,
曲线与有且只有一个公共点,即与相切,有,或(舍),
综上.
(2),C3:,曲线C1的参数方程为(为参数),
知曲线C1是过定点的直线,把直线的参数方程代入曲线C3得,
所以.
19. 如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC, AE= AB,BD,CE相交于点F。
(1)求证:A,E,F,D四点共圆;
(2)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.
参考答案:
(Ⅰ)证明:,.
在正△中,,,
又,,
△BAD≌△CBE,,
即,所以,,,四点共圆.
(Ⅱ)解:如图6,取的中点,连结,则.
,,
,,
△AGD为正三角形,
,即,
所以点是△AED外接圆的圆心,且圆的半径为.
由于,,,四点共圆,即,,,四点共圆,其半径为
略
20. 某市的老城区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,老城区改造规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面.该圆的内接四边形ABCD是原老城区建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.
(I)请计算原老城区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;
(II)因地理条件的限制,边界AD、CD不能变更,而边界AB、BC可以调整.为了提高老城区改造建筑用地的利用率,请在上设计一点P,使得老城区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求出其最大值.
参考答案:
解: (1)因为四边形ABCD内接于圆,所以∠ABC+∠ADC=180°,连接AC,由余弦定理:
AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC
=42+22-2×2×4cos∠ADC.
∴cos∠ABC=.∵∠ABC∈(0,π),∴∠ABC=60°.
则S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8(万平方米).
在△ABC中,由余弦定理:
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC
=16+36-2×4×6×=28,故AC=2.
由正弦定理得,2R===,∴R=(万米).......6分
(2)S四边形APCD=S△ADC+S△APC, S△ADC=AD·CD·sin120°=2.
设AP=x,CP=y,则S△APC=xy·sin60°=xy.
又由余弦定理:AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28.
∴x2+y2-xy≥2xy-xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当x=y时取等号.
∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9,
即当x=y时面积最大,其最大面积为9万平方米.......12分
21. 为坐标原点,已知向量,分别对应复数z1 , z2 , 且z1= z2=(aR), +z2 可以与任意实数比较大小,求的值。
参考答案:
由题意知+z2 为实数,,
得+z2 =的虚部为0,a2+2a-15=0 , 解得a=- 5 或a= 3 ;又分母不能为0,a= 3 ,此时,z1 = + i , z2 = - 1 + i ,
= ( ,1) = (- 1 , 1 ) , =
略
22. 在中,分别是角的对边,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,且的面积为,求的值.
参考答案:
(I)由及正弦定理,得(),
∴,∴或.
(II)∵,,∴,∴的面积,∴.①
由余弦定理,,即.②
由①×3+②,得,故.
略
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