2023年黑龙江省哈尔滨市利德高级中学高一数学理上学期期末试题含解析

2023年黑龙江省哈尔滨市利德高级中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列的首项，且，则为  A．7               B．15                  C.30                  D．31 参考答案： D 2. 已知直线x﹣ay=4在y轴上的截距是2，则a等于（　　） A．﹣ B． C．﹣2 D．2 参考答案： C 【考点】直线的截距式方程． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】直接把点（0，2）代入直线方程，求出a即可． 【解答】解：已知直线x﹣ay=4在y轴上的截距是2， 即直线过（0，2），代入得：﹣2a=4， 则a=﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，是一道基础题． 3. 已知集合， ，，则(  ) A．          B.           C.        D.  参考答案： B 4. 已知角的终边经过点P，则的值是 （      ） A、         B、         C、1         D、 参考答案： B 略 5. 数列{an}满足a1＝1，a2＝2,  2an＋1＝an＋an＋2，若bn＝，则数列{bn}的前5项和等于 A．1         B．          C．          D． 参考答案： B 6. 已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：设的外接圆半径为，由三角形内角和定理知，. 于 . 则，， ，知C、D均不正确． ，∴A正确． 事实上，注意到的无序性，并且，若B成立，则A必然成立，排除B. 故选A. 考点：三角恒等变换. 7. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为        A.                                                   B.     C.                                                                    D. 参考答案： B 8. 已知是第三象限角，且则（    ） A.         B.         C.            D. 参考答案： A 9. A(1,3)，B(5，-2)，点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为（    ）   A.  (4,0)              B. (13,0)           C. (5,0)         D. (1,0) 参考答案： B 10. 对任意，下列不等式中不成立的是                      (     ) A． B．    C．  D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为　　． 参考答案： 0 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）=2|x|+ax为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， 即2|﹣x|﹣ax=2|x|+ax， 则a=0， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，比较基础． 12. 函数取最大值时的值是             . 参考答案： 13. 已知单位向量，的夹角为，那么||=　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【分析】先将所求向量的模平方，转化为向量数量积运算，再利用已知两向量的模和夹角，利用数量积运算性质计算即可，最后别忘了开平方 【解答】解：∵单位向量，的夹角为， ∴||2=﹣4+4 =1﹣4×1×1×cos+4 =1﹣2+4=3 ∴||= 故答案为 14. 已知，则__________． 参考答案： 【分析】 令可求得，代入即可求得结果. 【详解】令，则    本题正确结果： 【点睛】本题考查函数值的求解，可采用整体对应法快速求解，属于基础题. 15. 函数的值域是　      。 参考答案： [-4，4] 16. 如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。 参考答案： 略 17. 若曲线与直线始终有交点，则b的取值范围是_______． 参考答案： 由题设可知有解，即有解，令借，则，所以，由于，故，结合正弦函数的图像可知，则，应填答案。 点睛：解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程有解，进而分离参数，然后通过三角换元将其转化为求函数的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 已知函数．求： （Ⅰ）函数的对称轴方程； （Ⅱ）函数在区间上的最值． 参考答案： 19. 已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x． （Ⅰ）求的值； （II）若，求f（x）的最大值及相应的x值． 参考答案： 【考点】H4：正弦函数的定义域和值域；GI：三角函数的化简求值． 【分析】（Ⅰ）把x=代入函数的解析式，化简求得结果． （Ⅱ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为，由x的范围，得， 故当，即时，f（x）取到最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx+sin2x， ∴，… = … =1．… （Ⅱ）f（x）=sinxcosx+sin2x=，… ==，… 由得，… 所以，当，即时，f（x）取到最大值为．… 20. 已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）． （1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明． （2）若对任意x∈R，不等式 f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围； （3）讨论f（x）零点的个数． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）当m=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明． （2）利用参数分离法将不等式 f（2x）＞0恒成立，进行转化，求m的取值范围； （3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论． 【解答】解：（1）当m=2，且x＜0时，是单调递减的． 证明：设x1＜x2＜0，则=== 又x1＜x2＜0，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0， 所以 所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 故当m=2时，在（﹣∞，0）上单调递减的． （2）由f（2x）＞0得， 变形为（2x）2﹣2x+m＞0，即m＞2x﹣（2x）2 而， 当即x=﹣1时， 所以． （3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0（x≠0），变为m=﹣x|x|+x（x≠0） 令 作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得： 当或时，f（x）有1个零点． 当或m=0或时，f（x）有2个零点； 当或时，f（x）有3个零点． 【点评】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法． 21. 已知数列{an}前n项和为Sn，，且满足（）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若，设数列前n项和为Tn，求证：． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 【试题分析】（1）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求解；（2）依据题设条件运用列项相消求和法进行求解： （Ⅰ），由（），得（）， 两式相减得． 由，得,又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 故． （Ⅱ）， ， ． 22. （本小题12分）已知数列的前n项和为，且. (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求数列的前项和. 参考答案： 解：（1）当时，.................2分 当时，  时，也适合上式。   ...........................6分 (2)由已知：