2023年湖南省衡阳市 衡山县贺家中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列{an}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（ ）
A．﹣5 B． C． D．
参考答案：
B
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a2=1，a8=2a6+a4，
∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d
联立解得a1=，d=﹣，
∴a5=a1+4d=+4（﹣）=
故选：B
2. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象
A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位
参考答案：
3. 已知a是函数f(x)=2x-logx的零点，若0
0 D.f(x0)的符号不确定
参考答案：
B
4. 已知函数有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
D
略
5. 已知,则的展开式中的常数项为（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
6. 下面是关于公差的等差数列的四个命题：
其中的真命题为 （ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 已知△的一个内角是，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
由△三边长构成公差为4的等差数列，
设△的三边长分别为，，，
因为△的一个内角是，
所以，
化简得，解得（舍）或。
因此△的的面积，故选择D。
8. 已知等比数列中，若成等差数列，则公比（ ）
A．1 B．1或2 C．2或-1 D．-1
参考答案：
【知识点】等比数列 等差数列D2 D3
C
解析：因为，则有，解得q=1或q=－2，则选C.
【思路点拨】可利用等比数列的通项公式及成等差数列得到关于q的方程，解答即可.
9. 等差数列中的是函数的极值点,则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
参考答案：
D
10. 如图是函数的部分图像，函数的零点所在的区间是，则的值为（ ▲ ）
1或0 B.0 C.1或1 D.0或1
参考答案：
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 研究问题:“已知关于的不等式的解集为(1,2),解关于的不等式
”,有如下解法:由,令,则
,所以不等式的解集为.类比上述解法,已知关于的不等
式的解集为,则关于的不等式的解
集为__________.
参考答案：
12. 点F足椭圆的右焦点，直线是椭圆E的右准线，A是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AF交于M，椭圆E在A点处的切线交于，则
参考答案：
0
略
13. 曲线在点处的切线方程是，则____.
参考答案：
14. 已知函数f(x)，g(x)分别如下表，则满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
参考答案：
2
15. 已知二次函数的值域为，则的最小值
为 .
参考答案：
4
略
16. 在的展开式中，常数项为
参考答案：
17. 若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知等比数列的公比，前3项和.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若函数＝在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．
参考答案：
（1）方程的两根为2,4，由题意得.
设数列的公差为d，则，故，从而.
所以的通项公式为
（2）设的前n项和为，由（1）知则
两式相减得
所以.
19. (10分)以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线L经过点P(1,1),倾斜角．
（I）写出直线L的参数方程；
（II）设L与圆相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
参考答案：
（I）直线的参数方程是
（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为．
圆化为直角坐标系的方程． 以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到
① 因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2．
20. 如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.
(1)试确定、两点的位置.
(2)求二面角大小的余弦值.
参考答案：
(1)以为正交基底建立空间直角坐标系，设，则，
,,
∵,
∴，
∴，解得…………………………………4分
∴PC=1,CQ=1,即分别为中点……………………………5分
(2)设平面的法向量为，∵,又，
∴，令，
则,………………………………………………8分
∵为面的一个法向量,∴,而二面角为钝角,
故余弦值为………………………………………………………………10分
21. (本题满分12分），.
（1）当时，求A的非空真子集的个数；
（2）若，求实数m的取值范围.
参考答案：
解：化简集合A=，集合. ………….3分
（1）,即A中含有6个元素，A的非空真子集数为个. .6分
（2）(2m+1)－(m－1)=m+2
①m= －2时，；…………7分
②当m<－2 时，(2m+1)<(m－1)，所以B=,因此，要，则只要，所以m的值不存在；…………8分
③当m>－2 时, (2m+1)>(m－1),所以 B=（m-1,2m+1）,因此，要，则只要
.…………10分
综上所述，m的取值范围是：m=－2或 …………12分
22. 在中，分别为角的对边，已知
（I）求角的值；
（II）若，求得取值范围.
参考答案：
（I）由，得，
即，解得.
因为，所以.
（II），，
又因为，所以
