2023年湖南省长沙市沙田乡联校高三数学理期末试题含解析

2023年湖南省长沙市沙田乡联校高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是 A．            B.           C.        D. 参考答案： A 略 2. 已知则的最小值为（     ） A. 2              B. 1             C.            D. 参考答案： B 3. 集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（　　） A． C．{5，6，7} D．{5，6，7，8} 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【专题】对应思想；定义法；集合． 【分析】化简集合A，再求A∩B的值． 【解答】解：集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z} ={x|2＜x＜8，x∈Z} ={3，4，5，6，7}， B={x|5≤x＜9}， ∴A∩B={5，6，7}． 故选：C． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 4. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是 A.91  5.5 B.91  5 C.92  5.5 D.92  5 参考答案： A 5. 命题“对任意的”的否定是                                A.不存在   B.存在       C.存在     D. 对任意的 参考答案： B 6. 已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（　　） A． B．﹣ C．4 D． 参考答案： B 【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质． 【分析】利用周期性得出f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），运用解析式求解即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数， ∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3）， ∵x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1 ∴f（log3）═﹣ 故选：B 7. 已知函数，则的值为      A．            B．               C．              D． 参考答案： C 略 8. 命题“若，则”的逆否命题是（    ） A． “若，则”     B．“若，则” C．“若x，则” D．“若，则” 参考答案： C 9. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ） 参考答案： C 10. 已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差       . 0 4 8 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞,2]，则该函数的解析式f(x)＝________. 参考答案： 略 12. (几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边 AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆 与AB交于点D，则         参考答案： 略 13. 在中，角所对的边分别为，若，b=， ，则        ． 参考答案： 答案： 解析：由正弦定理得，所以 14. 设单调函数y=p（x）的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q（x）使得函数y=p（q（x））的置于也是A，则称函数y=q（x）是函数y=p（x）的一个“保值域函数”．已知定义域为[a，b]的函数，函数f（x）与g（x）互为反函数，且h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，则b﹣a=　 　． 参考答案： 1 【考点】3T：函数的值． 【分析】由定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域，根据h（x）单调性得出a，b的范围，求出h（x）的值域，从而得出f（x）的定义域和g（x）的值域，再根据反函数的性质列方程即可解出a，b． 【解答】解：由“保值域函数”的定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域， ∵h（x）是定义在[a，b]上的单调函数，∴a＞3或b＜3． （1）若a＞3，则h（x）单调递减，∴h（x）的值域为[，]， ∵h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”， ∴f（x）的定义域为[，]，g（x）的值域为[a，b]， ∵函数f（x）与g（x）互为反函数， ∴，整理得a=b，与b＞a矛盾（舍）． （2）若b＜3，则h（x）单调递增，∴h（x）的值域为[，]， 同（1）可得，解得a=1，b=2． ∴b﹣a=1． 故答案为1． 【点评】本题考查了对新定义的理解，函数定义域与值域的计算，属于中档题． 15. 设函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是        ． 参考答案： a≥﹣1 【考点】函数恒成立问题． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】根据函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，可得﹣a≤1，即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：由题意，函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立， ∴﹣a≤1， ∴a≥﹣1， ∴实数a的取值范围是a≥﹣1． 故答案为：a≥﹣1． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度中等． 16. 给出下列四个命题： ① ②，使得成立； ③若函数f(x)=xsinx，则对任意实数恒成立 ④在中，若，则是锐角三角形， 写出所有正确命题的序号 参考答案： ①②③④ 17. 已知双曲线的一条渐近线通过点, 则其离心率为 参考答案： 【考点】双曲线 【试题解析】 由题知：双曲线的渐近线为因为过点，所以 所以 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知 （1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合。 （2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有的最大值. 参考答案： 解：（Ⅰ）………………2分 ……4分          （Ⅱ）因为对定义域内任一x有             ∴= 最大为   19. （14分）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB=400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F． （1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设∠CEF=θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF=，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】（1）由题意，BD=300，BE=400，△BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离； （2）△BDE中，由正弦定理可得=，可将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． 【解答】解：（1）由题意，BD=300，BE=400， △ABC中，cosB=，B=， △BDE中，由余弦定理可得DE==100m； （2）由题意，EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ． △CEF中，CE=EFcos∠CEF=2ycosθ △BDE中，由正弦定理可得=， ∴y==，0， ∴θ=，ymin=50m． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20. 已知函数=。 （1）当时，求函数的单调增区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）在（1）的条件下，设=+， 求证：   （），参考数据：。（13分） 参考答案： （1）当时，=，，得或，故的单调增区间是，。…………………………………3分 （2）=，==， 令=0得或。 当时，，递增，；                         6分 当时，，＜0，递减；，，递增， == ………………………………………………………7分 当时，，0，递减，==…8分 （3）令=—，。，递减， ，，∴ ， ==……=   （）……13分 略 21. 如图，在以，，，，为顶点的多面体中，，面为直角梯形，，，，，，二面角的大小为60°. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小； 参考答案： （1）因为，，则， 所以为二面角的平面角，即， 在中，，，，所以， 所以，即 由，，且，可知平面， 又平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面. （2）解法一：由（1）知，平面，平面，所以平面平面， 在中，过点作，垂足为，在中， 作，因为，所以， 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向 建立空间直角坐标系. 由，得，，， 则，，，， 依题意，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设，可得， 设平面的一个法向量为，平面与平面所成的二面角为， 所以，所以， 所以平面与平面所成二面角（锐角）为. 解法二：因为，如图，以为原点，分别为，为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得，，， 由平面知平面平面，又， ，可得：，. 依题意，.设平面的一个法向量为， 则，即，不妨设，可得， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角（锐角）为 所以，于是， 所以平面与平面所成二面角（锐角）为. 【注：几何法求解一样给分.提示：延长，相交于点，连接，则是平面与平面的交线.】 22. （本小题满分12分） 记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. （1）求和； （2）若,求实数的取值范围. 参考答案： 【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1  【答案解析】（1）A∩B={﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}，A∪B=R；（2）[4，+∞）． 解析：（1）A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，B={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}， 则A∩B={﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}，A∪B=R； （2）C={x|4x+p＜0}={x|x＜﹣}，∵CA，∴﹣≤﹣1，得，p≥4， 所以，实数P的取值范围是[4，+∞）． 【思路点拨】（1）由题意x2﹣x﹣2＞0，9﹣x2≥0，从而解出集合A、B，再进一步解出A∩B和A∪B，（2）化简C={x|4x+p＜0}={x|x＜﹣}，由CA求实数P的取值范围．