2023年福建省福州市私立民益中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2023年福建省福州市私立民益中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一条直线经过点且与两点的距离相等,则直线的方程是（    ） A.或      B.  C.或      D. 参考答案： A 2. 在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（  ） A. y＝a+bx B. y＝c+d C. y＝m+nx2 D. y＝p+qex（q＞0） 参考答案： B 散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除选项，故选. 3. 不解三角形，确定下列判断中正确的是（  ） A. b=9，c=10，B=60°，无解    B. a=7，b=14，A=30°，有两解 C. a=6，b=9，A=45°，有两解    D. a=30，b=25，A=150°，有一解 参考答案： D A选项，两解，错。B选项，，一解，错。 C选项，，一解，错。D.选项，A为钝角，，一解，正确，选D. 4. 观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（　　） A．192 B．202 C．212 D．222 参考答案： C 【考点】F1：归纳推理；8M：等差数列与等比数列的综合． 【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可． 【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有13+23+33+43+53+63=212． 故选C． 5. 对长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 A. 若K2的值大于6.635，我们有99%的把握认为长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，那么在100个长期吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉中必有99人患有肾结石病 B. 从独立性检验可知有99%的把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系时，我们说一个婴幼儿吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉，那么他有99%的可能性患肾结石病 C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，是指有5%的可能性使得判断出现错误 D. 以上三种说法都不正确 参考答案： C 【分析】 在独立性检验中, 的值与对应的百分值,是指犯错误的概率,不是具体某个患者或者某个具体事件发生的可能. 【详解】根据独立性检验的原理,通过公式计算得到的值,不能作为判断某个具体事件发生的情况,所以A、B错误；有的把握认为吃含三聚氰胺的婴幼儿奶粉与患肾结石有关系，同时也会有的可能性使得判断出现错误，所以C选项正确。 所以选C 【点睛】本题考查了独立性检验方法概念和简单应用，注意概率与具体事件的关系，属于基础题。 6. 若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是(    ) A．          B．或    C．     D． 参考答案： B  7. 已知向量,,且，则的值为 (     )    A．                 B．                 C．           D． 参考答案： C 8. 已知函数，则不等式的解集为 （    ） A．        B．       C．          D． 参考答案： B 9. 已知复数满足，(为虚数单位)，则(    ) A．         B．       C．2       D．3 参考答案： A 10. 下列命题是真命题的是 A. 若，则             B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线相交于两点，则以AB为直径的圆在轴上所截得的弦长的最小值是            。 参考答案： 12. 设p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】解绝对值不等式|4x﹣3|≤1，我们可以求出满足命题p的x的取值范围，解二次不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，我们可求出满足命题q的x的取值范围，根据p是q的充分不必要条件，结合充要条件的定义，我们可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围． 【解答】解：命题p：|4x﹣3|≤1，即≤x≤1 命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1 ∵p是q的充分不必要条件， ∴ 解得0≤a≤ 故答案为： 13. 气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据的总体均值为24，且极差小于或等于4； ④丁地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8． 则肯定进入夏季的地区有        (写出所有正确编号) 参考答案： ①④ 14. 在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=　  　． 参考答案： 1 【考点】三角形中的几何计算；三角形的面积公式． 【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为， 所以， 则|AC|=1． 故答案为：1． 15. 图1，2，3，4分别包含1，3，6和10个小三角形，按同样的方式构造图形，则第个图包含小三角形的个数为           ． 参考答案： 略 16. 设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点，则实数a的取值范围是　     　． 参考答案： 0＜a＜ 【考点】函数在某点取得极值的条件． 【专题】计算题． 【分析】题目中条件：“在R上有两个极值点”，即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的实根的分布问题，利用二次函数的图象令判别式大于0在﹣1处的函数值大于0即可． 【解答】解：由题意，1+x＞0 f′（x）==， ∵f（x）=ax3+x恰有有两个极值点， ∴方程f′（x）=0必有两个不等根， 即2x2+2x+a=0在（﹣1，+∞）有两个不等根 ∴ 解得0＜a＜ 故答案为：0＜a＜． 【点评】本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析． 17. 平面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|为　　． 参考答案： 或5 【考点】向量的三角形法则． 【分析】由平面向量，，两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出． 【解答】解：∵平面向量，，两两所成角相等， ∴两两所成角为0°或120°． ∵||=1，||=2，||=3， 当所成角为120°时， ∴=1×2×cos120°=﹣1， =﹣， =﹣3， 则|++|===． 同理可得：当所成角为0°时， 则|++|==5． 故答案为：或5． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知x，y之间的一组样本数据如下表： x 2 y 30 40 50 60 70 观察散点图发现：这5组样本数据对应的点集中在二次曲线y=bx2+a附近． （1）求y与x的非线性回归方程 （2）求残差平方和及相关指数R2． 参考答案： 【考点】BK：线性回归方程；BR：可线性化的回归分析． 【分析】（1）由题意，（，50），（，60）代入，可得，求出a，b，即可求y与x的非线性回归方程 （2）利用公式求残差平方和及相关指数R2． 【解答】解：（1）由题意，（，50），（，60）代入，可得，解得b=10，a=0， ∴y与x的非线性回归方程为y=10x2； （2）=（30+40+50+60+70）=50， ∴总偏差平方和为（30﹣50）2+（40﹣50）2+（50﹣50）2+（60﹣50）2+（70﹣50）2=1000， 残差平方和为（30﹣20）2+（40﹣40）2+（50﹣50）2+（60﹣60）2+（70﹣80）2=200， ∴R2=1﹣=0.8． 【点评】本题考查回归分析的应用，考查残差平方和，总偏差平方和和相关指数的关系，比较基础． 19. 已知公差不为零的等差数列{an}，若a1=2，且a1，a3，a9成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{anbn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d≠0．由a1=2，且a1，a3，a9成等比数列，可得，即（2+2d）2=2×（2+8d），解出d即可得出． （II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d≠0． ∵a1=2，且a1，a3，a9成等比数列， ∴，即（2+2d）2=2×（2+8d）， ∴4d2=8d， ∵d≠0，∴d=2． ∴an=2n． （Ⅱ）， Sn=1?2+2?22+3?22+…+n?2n．① 从而2?Sn=1?22+2?23+3?23+…+n?2n+1．② ①﹣②，得（1﹣2）Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1， 即， ∴． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. 设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式 （Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列  可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn． 【解答】解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为q，q＞0 ∵a3=a2+4，a1=2 ∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0 ∴q=2 ∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n （Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 ∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不