2023年浙江省杭州市塘栖中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A． 3 B． 3.15 C． 3.5 D． 4.5
参考答案：
A
2. 已知函数＝sinx与的图象的一个交点的横坐标为，则＝( )
A. － B. － C. D.
参考答案：
B
【分析】
首先根据题中的条件，得到，从而求得，根据题中所给的，进而求得结果.
【详解】由题意得，所以，
所以，因为，
所以，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有诱导公式，已知三角函数值求角，属于简单题目.
3. 若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（ ）
A．{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z} B．{x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}
C．{x|kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z} D．{x|kπ+＜x＜kπ+，k∈Z}
参考答案：
D
【考点】HA：余弦函数的单调性．
【分析】利用二倍角的余弦公式可得cos2x＜0，所以， +2kπ＜2x＜+2kπ，k∈Z，从而得到x的范围．
【解答】解：由sin2x＞cos2x得cos2x﹣sin2x＜0，即cos2x＜0，所以， +2kπ＜2x＜+2kπ，k∈Z，
∴kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，
故选D．
4. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
【考点】函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．
【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，
当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，
所以选项B满足题意，C正好相反，
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．
5. 设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
6. 在△ABC中，bcos A＝acos B，则三角形为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
参考答案：
C
7. 已知数列{an}满足,则（ ）
A. －3 B. －2 C. D.
参考答案：
B
【分析】
列举出数列的前项，找到数列的周期，由此求得表达式的结果.
【详解】依题意，，，所以，所以数列是周期为4的数列，且每4项的积为，故，故选B.
【点睛】本小题主要考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.
8. 在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有( )
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
参考答案：
B
略
9. 如果指数函数在上是减函数，则a的取值范围是( )
A.a＞2 B.0
1 )，且首项a 1 = 5，则通项公式a n = ，
a n = 。
参考答案：
[ 1 + () n – 1 ] ( n = 1，2，… )，
15. 设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,
可求得f(－3)+f(－2)+…+f(0)+…+f(3)+f(4)的值为___________________.
参考答案：
2
略
16. 关于有以下命题：
①若则；②图象与图象相同；③在区间上是减函数；④图象关于点对称。其中正确的命题是 ．
参考答案：
②③④
略
17. 一船以每小时的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东的方向，行驶后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东的方向，这时船与灯塔的距离为 _________。
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分16分）
已知函数在区间上的值域为
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若关于的函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）∵a>0，∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1．
∴函数f(x)在[2，3]上单调递增．
由条件得
，即，解得a=1，b=0． ………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=0．
∴f(x)=x2-2x+2，从而g(x)=x2-(m+3)x+2． ………………………8分
若g(x)在[2，4]上递增，则对称轴，解得m≤1；……………………11分
若g(x)在[2，4]上递减，则对称轴，解得m≥5，……………………14分
故所求m的取值范围是m≥5或m≤1． …………………………………………………16分
略
19. (1)求经过点P(1,2)，且与两坐标轴构成等腰三角形的直线l的方程；
(2)求满足(1)中条件的直线l与y轴围成的三角形的外接圆的方程．
参考答案：
(1)设直线l的方程为＋＝1且|a|＝|b|， ①
又∵P(1,2)在直线l上，∴＋＝1， ②
由①②解得a＝3，b＝3或a＝－1，b＝1，
∴直线l的方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
(2)∵(1)中所求得的两条直线互相垂直，∴y轴被两条直线截得的线段即是所求圆的直径且所求圆经过P点．
设圆心为(0，b)，
又x＋y－3＝0和x－y＋1＝0在y轴上的截距分别为3和1，
则1＋(b－2)2＝()2＝r2，解得b＝2，r＝1.
故所求圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1.
20. （本小题满分8分）在中，设，，且为直角三角形，求实数的值．
参考答案：
若，由，得，解得； ………… 2分
若，，由，
得，解得； ………… 5分
若，由，得，即，．
综上，的值为或． ………… 8分
21. （本小题满分12分）已知是的三个内角，且满足，设的最大值为．
（1）求的大小；
（2）当时，求的值．
参考答案：
（1）由题设及正弦定理知，，即．
由余弦定理知，
．
因为在上单调递减，所以的最大值为．
（2）解：设， ①
由（Ⅰ）及题设知． ②
由①2+②2得，．
又因为，
所以，即．
22. 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
参考答案：
：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝6n2－22n.
