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辽宁省辽阳市第十四高级中学2023年高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. ac2>bc2是a>b的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
考点:不等式的基本性质;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:探究型.
分析:由ac2>bc2,可得a>b,反之若a>b,则ac2≥bc2,故可得结论.
解答: 解:若ac2>bc2,∵c2>0,∴a>b,∴ac2>bc2是a>b的充分条件
若a>b,∵c2≥0,∴ac2≥bc2,∴ac2>bc2不是a>b的必要条件
∴ac2>bc2是a>b的充分不必要条件
故选A.
点评:本题考查四种条件,解题的关键是利用不等式的基本性质,属于基础题.
2. 从中随机选取一个数,从中随机选取一个数,则关于的方程有两个不相等的实根的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 为培养学生分组合作能力,现将某班分成A,B,C三个小组,甲、乙、丙三人分到不同组.某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在B组中的那位的成绩与甲不一样,在A组中的那位的成绩比丙低,在B组中的那位的成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序,则排序正确的是
A.甲、丙、乙 B.乙、甲、丙
C.乙、丙、甲 D.丙、乙、甲
参考答案:
C
因为在组中的那位的成绩与甲不一样,在组中的那位的成绩比乙低.所以甲、乙都不在B组,所以丙在B组. 假设甲在A组,乙在C组,由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组,乙在A组,由题得矛盾,所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.
4. 复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
【知识点】复数的乘法运算;复数的几何意义。L4
【答案解析】B 解析:∵∴复数z在复平面上对应的点的坐标为,位于第二象限.故选B.
【思路点拨】先利用复数的乘法运算求出Z,再判断即可。
5. 《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】CE:模拟方法估计概率.
【分析】求出内切圆半径,计算内切圆和三角形的面积,从而得出答案.
【解答】解:直角三角形的斜边长为=17,
设内切圆的半径为r,则8﹣r+15﹣r=17,解得r=3.
∴内切圆的面积为πr2=9π,
∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣=1﹣.
故选:D.
【点评】本题考查了几何概型的概率计算,属于基础题.
6. 命题p:“?x0∈R,使得x02﹣3x0+1≥0”,则命题¬p为( )
A.?x∈R,都有x2﹣3x+1≤0 B.?x∈R,都有x2﹣3x+1<0
C.?x0∈R,使得x02﹣3x0+1≤0 D.?x0∈R,使得x02﹣3x0+1<0
参考答案:
B
【考点】命题的否定.
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【解答】解命题p:“?x0∈R,使得x02﹣3x0+1≥0”,则命题¬p为?x∈R,都有x2﹣3x+1<0
故选:B
7. 已知满足约束条件,则的最小值为( )
. . . .
参考答案:
B
8. 函数的图象大致为
参考答案:
C
略
9. 一条长为2的线段,它的三个视图分别是长为的三条线段,则的最大值为
A. B. C. D.3
参考答案:
C
构造一个长方体,让长为2的线段为体对角线,由题意知,即,又,所以,当且仅当时取等号,所以选C.
10. 设、表示两条不同的直线,、表示两个不同的平面,下列命题中真命题是 ( ) .
A.若,则 B.若
C.若 D.若
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.
参考答案:
=
略
12. 如图,在长方形中,,,为的中点,若是线段 上动点,则的最小值是 .
参考答案:
13. 若直线的倾斜角是,则 (结果用反三角函数值表示).
参考答案:
14. 一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 .
参考答案:
80
略
15. 等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-a=0,S2m-1=38,则m=________.
参考答案:
【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】10 根据等差数列的性质可得:am-1+am+1=2am,
∵am-1+am+1- =0,∴2am-am2=0∴am=0或am=2
若am=0,显然S2m-1=(2m-1)am不成立∴am=2∴s2m-1= =(2m-1)am=38,
解得m=10.故答案为:10
【思路点拨】根据等差数列的性质可知,am-1+am+1=2am,代入am-1+am+1-=0中,即可求出am,然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m-1项的和,利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式,把第m项的值代入即可求出m的值
16. 设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x﹣a|﹣2a,若f(x)为R上的“2011型增函数”,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】由题意可以得到再由定义存在正实数k,使对任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数f(x)为D上的“k型增函数”.对所给的问题分自变量全为正,全为负,一正一负三类讨论,求出参数所满足的共同范围即可.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x﹣a|﹣2a,
∴
又f(x)为R上的“2011型增函数”,
当x>0时,由定义有|x+2011﹣a|﹣2a>|x﹣a|﹣2a,即|x+2011﹣a|>|x﹣a|,其几何意义为到点a小于到点a﹣2011的距离,由于x>0故可知a+a﹣2011<0得a<
当x<0时,分两类研究,若x+2011<0,则有﹣|x+2011+a|+2a>﹣|x+a|+2a,即|x+a|>|x+2011+a|,其几何意义表示到点﹣a的距离小于到点﹣a﹣2011的距离,由于x<0,故可得﹣a﹣a﹣2011>0,得a<;若x+2011>0,则有|x+2011﹣a|﹣2a>﹣|x+a|+2a,即|x+a|+|x+2011﹣a|>4a,其几何意义表示到到点﹣a的距离与到点a﹣2011的距离的和大于4a,当a≤0时,显然成立,当a>0时,由于|x+a|+|x+2011+a|≥|﹣a﹣a+2011|=|2a﹣2011|,故有|2a﹣2011|>4a,必有2011﹣2a>4a,解得
综上,对x∈R都成立的实数a的取值范围是
故答案为:.
17. 若实数满足,则的取值范围是____________________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)通过随机调查九校高三100名学生在高二文理分科是否与性别有关,得到如下的列联表:(单位:人)
(1)从这50名女生中按文理采取分层抽样,抽取一个容量为5的样本,问样本中文科生与理科生各多少人?
(2)从(1)中抽到的5名女生中随机选取两名访谈,求选到文科生、理科生各一名的概率;
(3)根据以上列联表;问有多大把握认为“文理分科与性别”有关?
统计量,其中
概率表:
P(k2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考答案:
(1)文科生3人,理科生2人…………………………………………4分
(2)设三名文科生分别为文1、文2、文3,两名理科生分别为理1、理2、,则从中任选两人的结果为(文1,文2)、(文1,文3)、(文1,理1)、(文1,理2)、(文2,文3)、(文2,理1)、(文2,理2)、(文3,理1)、(文3,理2)、(理1,理2)共10种情况,其中一文一理的共6种。
∴…………………………………………8分
(3)
∴有99%的把握认为 “文理分科与性别”有关。……………………………………12分
19. 华山中学三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和优秀两个等次,若考核为合格,则授予10分降分资格;考核优秀,授予20分降分资格。假如甲乙丙考核为优秀的概率分别为,他们考核所得的等次相互独立。
(1)求在这次考核中,甲乙丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率;
(2)记在这次考核中甲乙丙三名同学所得降分之和为随机变量,求的分布列及数学期望.
参考答案:
20. (14分)(2015?东阳市模拟)各项为正的数列{an}满足,,
(1)取λ=an+1,求证:数列是等比数列,并求其公比;
(2)取λ=2时令,记数列{bn}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项之积为Tn,求证:对任意正整数n,2n+1Tn+Sn为定值.
参考答案:
考点: 数列递推式;数列的求和.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: (1)把由λ=an+1代入,整理后求解方程求得.结合an>0可得为常数,结论得证;
(2)把λ=2代入数列递推式,得到2an+1=an(an+2),变形得到,然后分别利用累积法和裂项相消法求得Tn,Sn,代入2n+1Tn+Sn证得答案.
解答: 证明:(1)由λ=an+1,得,∴.
两边同除可得:,解得.
∵an>0,∴为常数,
故数列是等比数列,公比为1;
(2)当λ=2时,,得2an+1=an(an+2),
∴.
∴,
又,
∴,
故2n+1Tn+Sn==2为定值.
点评: 本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了累积法求数列的通项公式及裂项相消法求数列的和,是中档题.
21. △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】余弦定理的应用;平面向量共线(平行)的坐标表示.
【专题】解三角形.
【分析】(Ⅰ)利用向量的平行,列出方程,通过正弦定理求解A;
(Ⅱ)利用A,以及a=,b=2,通过余弦定理求出c,然后求解△ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)因为向量=(a,b)与=(cosA,sinB)平行,
所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0,因为sinB≠0,
所以tanA
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