广西北海市2022-2023学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

北海市2022年秋季学期期末教学质量检测 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 4．本卷主要考查内容：北师大版必修第一册第一章~第七章． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．函数部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是（ ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 5．已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则（ ） A．48 B．72 C．60 D．120 7．已知a，b为正实数，以下不等式成立的有（ ） ①；②；③；④． A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④ 8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度，若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至，大约需要（参考数据：，）（ ） A．9分钟 B．10分钟 C．11分钟 D．12分钟 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．当时，幂函数的图象在直线的上方，则a的值可能为（ ） A． B． C．2 D．3 10．5月6日，小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．根据图中的信息可得（ ） A．护士每隔6小时给小明测量一次体温 B．近三天来，小明所测体温数据的极差为3.7摄氏度 C．近三天来，小明所测体温数据的中位数是37.5摄氏度 D．如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，可以出院，那么小明最快5月10日凌晨6时出院 11．某工厂制造一种零件，甲机床的正品率是0.7，乙机床的正品率为0.8，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（ ） A．两件都是次品的概率为0.06 B．事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件 C．恰有一件正品的概率为0.38 D．事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件 12．已知函数．则下列说法正确的是（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在定义域上单调递减 D．若实数a，b满足，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课．某班有50名学生，选择音乐课的有21人，选择美术课的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是______________． 14．若函数在区间上存在一个零点，则实数m的取值范围是___________． 15．已知，其中．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______________． 16．已知函数若方程恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是___________，的取值范围是___________．（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集，集合，集合． （1）求； （2）求． 18．（本小题满分12分）（1）计算：； （2）求满足的x的值． 19．（本小题满分12分）已知． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 20．（本小题满分12分）已知函数是指数函数． （1）求实数a的值； （2）已知，求的值域． 21．（本小题满分12分）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 22．（本小题满分12分）已知函数为奇函数，其中且． （1）求实数a的值，判断并证明函数的单调性； （2）函数在区间上的值域是，求k的取值范围． 北海市2022年秋季学期期末教学质量检测·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1．C 由全称命题的否定知原命题的否定为．故选C． 2．C 由可得，又因为，所以函数的定义域为，故选C． 3．B 因为函数的定义域为，又，所以函数是偶函数．排除AD，令，得，且只有一个解，排除C，故选B． 4．A 该组数据从小到大排列为：4，5，5，6，7，8，9，且．所以第60百分位数是第5个数，即7．故选A． 5．A 因为，所以．故选A． 6．D 由题意可知，该该校高中生人数与初中生人数之比为，则，解得，故选D． 7．C ，只有时①成立； （当且仅当时等号成立），②恒成立； ，当且仅当时等号成立．故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立， 由图象可知④恒成立．故选C． 8．B 由题意，，由一杯的热水降至大约用时1分钟，可得，所以，又水温从降至，所以，即，所以，所以，所以水温从降至，大约需要10分钟．故选B． 9．AB 由题意，转化为当时，恒成立，可得，故选AB． 10．ACD 根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温． 从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知近三天最低体温是36.8摄氏度． 最高体温是39.5摄氏度，则极差为2.7摄度． 按照从小到大排列为36.8，37，37，37.1，37.2，37.5，38，38，39，39.2，39.5，共计11个数，所以中位数为37.5． 5月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自5月8日18时起计算，连续36 小时后对应的时间为5月10日凌晨6时．因此小明最快可以在5月10凌晨6时出院．故选ACD． 11．ACD 两件都是次品的概率，A正确； “至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品；“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品；故B中两个事件不是互斥事件，B错误； 恰有一件正品的概率，C正确； “至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品，概率为， 两件都是次品的概率为0.06，概率相加为1，故D中两个事件是对立事件；D正确；故选ACD． 12．ABD 对于A选项，对任意的，所以函数的定义域为，，所以，A正确； 对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，，即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，D正确．故选ABD． 13． 由题意可知，两种兴趣班都选择的人数为，所以所求概率为 14． ． 15． ，所以不等式的解集为，，其中，解得，所以不等式的解集为． 由q是p的必要不充分条件，则且， 所以，则且等号不同时成立， 解得． 16． 如图所示，，． 17．解：（1）由题意得，， 不等式，可得， ∴， ； （2）由（1）知，， ∴． 18．解：（1）原式 ； （2）因为， 所以， 所以， 则 19．解：（1） （当且仅当时等号成立） 则的最小值为； （2）因为， 所以 （当且仅当时等号成立，即）， 则的最小值为3． 20．解：（1）由题意可知：或， 又∵且，即且， ∴； （2）∵，∴， 令， ， ， ， 则的值域为． 21．解：（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3． 设女生一周阅读时间的分位数为a，则， 解得； （2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数； 由频率分布直方图估计女生周课外阅读时间的平均数． 所以估计总样本的平均数； （3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，女生有（人）． 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为a，女生有5人，记为，则样本空间，共有15个样本点． 记事件“恰好一男一女”，则，共有5个样本点， 故所求概率． 22．解：（1）由函数为奇函数，有，有， 有，有， 有，得． （因为，所以定义域为，所以，即，也给分） 因为，所以， 当时，，定义域为，，符合题意．（不检验扣1分） 单调性结论为：在上单调递增． 设上任意两个实数，且． ， 而， ∴，即得证，则在上单调递增； （2）由知，由知，所以， 由（1）知在上单调递增，结合题意有 得即m，n是的两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， 有可得， 故实数k的取值范围为．