2023届湖北省十堰市高三年级上册学期元月调考数学试题【含答案】

十堰市2023年高三年级元月调研考试 数学 本试卷共4页，22题，均为必考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小颗给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.已知复数，，则 A. B. C. D. 3.“”是“”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点，则双曲线的离心率是 A.10 B. C. D. 5.《中国居民膳食指南（2022）》数据显不，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示. 根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是 A.50 B.52.25 C.53.75 D.55 6.已知，，且，则的最小值是 A.1 B. C.2 D. 7.如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为 A. B. C. D. 8.已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.如图，在正方体中，则 A.平面 B.与平面相交 C.平面 D.平面平面 10.已知函数，则 A.的定义域是 B.的值域是 C.是奇函数 D.在上单调递减 11.2022年9月钱塘江多处发现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股涌潮是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似（是函数的导函数）的图象.已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则 A. B. C.是偶函数 D.在区间上单调 12.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是 A.若直线OA，OB的斜率之积为-2，则直线过定点 B.若直线OA，OB的斜率之积为-2，则面积的最大值是 C.若，则的最大值是 D.若，则当取得最大值时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知向量，，若，则__________. 14.设等比数列的前项和为，写出一个满足下列条件的的公比：__________. ①，②是递增数列，③. 15.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________. 16.若对任意的，都有成立，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分） 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18.（12分） 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求A； （2）若D是边BC的中点，且，求面积的最大值. 19.（12分） 如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点. （1）证明：平面. （2）求平面ADE与平面夹角的余弦值. 20.（12分） 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立. （1）求比赛进行四局结束的概率； （2）求甲获得比赛胜利的概率. 21.（12分） 已知椭圆：的右焦点为F，P在椭圆上，的最大值与最小值分别是6和2. （1）求椭圆的标准方程. （2）若椭圆的左顶点为A，过点F的直线与椭圆交于B，D（异于点A）两点，直线AB，AD分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 22.（12分） 已知函数，且曲线在处的切线为. （1）求m，n的值和的单调区间； （2）若，证明：. 十堰市2023年高三年级元月调研考试 数学参考答案 1.B由题意可得，，则. 2.A由题意可得. 3.B由，得；由，得.故“”是“”充分不必要条件. 4.D由题意可得，则双曲线的离心率. 5.C因为，，所以该地中学生的体重的中位数在内，设该中位数为，则，解得. 6.C因为，所以，则，当且仅当，时，等号成立. 7.D（解法一）由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），则，，，，从而，.故，即. （解法二）折叠后的几何体如图所示，在平面BCED内过点B作，且满足.因为平面平面，，所以平面，所以，所以平面.因为，，，所以，，，，所以，即异面直线PB，CE所成角的正弦值为. 8.C令，得或，画出的大致图象.设，由图可知，当或时，有且仅有1个实根，当或时，有2个实根，当时，有3个实根，则恰有4个不同的零点等价于或或或解得或. 9.AD由正方体的性质可知平面平面，因为平面，所以平面，则A正确；因为，所以平面，则B错误；由题意可知，则不可能与平面垂直，故C错误；由正方体的性质可知平面，因为平面，所以平面平面，则D正确. 10.AC 的定义域是，值域是，则A正确，B错误；是奇函数，则C正确；在和上单调递减，在上不是单调递减的，则D错误. 11.BC由题意得，则，即，故，因为，，所以，所以，，则A错误；因为破碎的涌潮的波谷为-4，所以的最小值为-4，即，所以，所以，则，故B正确；因为，所以，所以，则C正确；由，得，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则D错误. 12.AC设直线：，，，联立整理得，则，.因为直线OA，OB的斜率之积为-2，所以.因为，，所以，所以，解得，即直线过定点，故A正确.由A选项可知，当且仅当时，等号成立，则面积的最小值是，故B错误.在中，由余弦定理可得.因为，所以，则.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确.由C选项可知直线的斜率不存在，设直线：，则直线与轴的交点为，从而，.因为，所以，所以，即，整理得，解得或.当时，；当时，.综上，或，则D错误. 13.由题意可得，则，解得. 14.2（答案不唯一） 由等比数列的通项公式可得，则.因为，且是递增数列，所以.因为，所以，即，所以，解得.综上，. 15.由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率. 16.等价于，即，即.设，则.由题意可知在上单调递减，则在上恒成立，则，故的最大值为. 17.解：（1）设数列的公差为， 由题意可得解得 则. （2）由（1）可知， 则 . 18.解：（1）因为，所以， 所以，. 因为，所以. （2）因为D是边BC的中点，所以， 所以， 因为，且，所以. 因为，所以，所以. 则的面积. 19.（1）证明：连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面平面，所以平面. 因为平面ABD，且，所以平面平面. 因为平面ABD，所以平面. （2）解：取的中点，连接，，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，， 从而，，，. 设平面ADE的法向量为， 则令，得， 设平面的法向量为， 则令，得. 设平面与平面的夹角为，则. 20.解：（1）比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜. 第一局甲获胜，后三局丙获胜的概率； 第一局乙获胜，后三局丙获胜的概率. 故比赛进行四局结束的概率. （2）比赛进行三局，甲获胜的概率为； 比赛进行五局，甲获胜的概率为； 比赛进行七局，甲获胜的概率为. 故甲获得比赛胜利的概率为. 21.解：（1）设椭圆C的焦距为， 由题意可得，解得 故椭圆的标准方程为. （2）当直线垂直于轴时，：，代入椭圆方程，解得，. 直线AB的方程为，令，得，则.同理可得. ，，则，即. 若为定值，则必为. 由题意可得直线的斜率不为0，设直线：，，. 联立整理得， ， 则，. 直线的方程为，令，得，则. 直线的方程为，令，得，则. 因为，所以，， 则 ， 故，即. 综上，为定值. 22.（1）解：因为，所以. 由题意可得即解得 因为， 所以当或时，，当时，， 则在与上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由（1）可知，，. 设， 则. 设，则. 因为，所以，则在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即在上恒成立， 则在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即对一切恒成立. 因为，所以. 因为，所以. 因为在上单调递增，且，所以，即.