九年级数学上册《二次函数的图象和性质》练习题

九年级数学上册《二次函数的图象和性质》练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________________ 一、单选题 1．二次函数的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上 3．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（    ） A．y的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2 C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小 D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（    ） A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点 6．已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（    ） A．表达式为 B．图象开口向下 C．图象与轴有两个交点 D．当时，随的增大而减小 二、解答题 7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围． 8．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+ m x +m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 9．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 10．如图，抛物线（为常数）与轴和轴的正半轴分别交于点和，直线，交轴于点，交于点，（在的左侧）． （1）当时， ①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，并求的长； ②当时，求的最大值和最小值的差． （2）是否存在，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）当时，抛物线的最高点到的距离为1，请直接写出此时的值． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值． 三、填空题 12．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________． 13．如图，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的一个交点在（－3，0）、（－2，0）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①；②；③若点（，）、（－，）、（，）是该抛物线上的点，则；④，其中正确结论为________． 14．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位． （1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______． （2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______． 参考答案： 1．D 【分析】根据，即可求得． 【详解】解： 该二次函数的对称为直线， 故选：D. 【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴问题，熟练掌握和运用求二次函数对称轴的方法是解决本题的关键． 2．D 【分析】根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴． 【详解】解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0）， 抛物线y＝−4（x＋2）2的开口向下，对称轴为直线x＝−2，顶点是（−2，0）， ∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝−4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键． 3．B 【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点的对称点，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴该二次函数的对称轴为：直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点都在对称轴左侧，对称轴左侧随的增大而增大 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图象的增减性是解题的关键． 4．C 【分析】根据二次函数的性质和函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小； 故选项A、B的说法正确，C的说法错误； 根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1， 故选项D的说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．B 【分析】根据二次函数的性质进行计算，依次判断即可得． 【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线：，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线：，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题意； C、当，时，，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题意； D、当a＝﹣2时，，，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 6．D 【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)， ∴， 将(0，5)代入得， 解得， ∴，故选项A不符合题意； ∵a=1>0， ∴图象开口向上，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上， ∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意； ∵a=1>0，且对称轴为直线x=2， ∴时，随增大而减小，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 7．(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3） (2)﹣3≤n＜6 【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围． （1） 解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）； （2） 解：如图所示： 由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上， ∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6． 【点睛】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型． 8．(1)m=1 (2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析． 【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值； （2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案． （1） 解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ， ∴4=4+2m+m2−3， 即m2+2m−3=0， 解得：m1=1，m2=−3， 又∵m>0， ∴m=1； （2） 解：由（1）知二次函数y=x2+x−2， ∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0， ∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键． 9．(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； (2)y＝（x≥3）； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析． 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． （1） 解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2） 解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； （3） 解：能，理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 10．（1）①对称轴为直线，顶点坐标为；；②8；（2）存在；；（3）的值为或或或． 【分析】（1）①当时，得到抛物线，化为顶点式即可得到对称轴与顶点坐标，再求出A，B坐标，故可得到AB的长； ②当时，根据抛物线的图象与性质分别求出最大值和最小值，即可求解； （2）根据当，时，分别画出图形，根据及直线依次求解； （3）把抛物线化为顶点式得到对称轴为直线，再根据抛物线开口向下，可知函数最高点坐标为，根据最高点到直线的距离为1，分当直线在最高点上方时与直线在最高点下方时分别代入即可求解 ． 【详解】解：（1）①当时，抛物线=． ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，， 当时，（负值舍去）， ∴，，． ②当时，抛物线的最大值为顶点纵坐标， ∴的最大值为， 抛物线的最小值为时，， ∴最大值和最小值的差为． （2）存在的值，使得． 如图1，当时， ∵在的左侧， ∴若， 则，代入表达式得 ． ∴． 如图2，当时， ∵在的左侧， 当时， ， 即． 令，